通信原理3随机过程.ppt

第三章 随机过程,重点: 随机过程的基本概念 平稳随机过程定义及其通过线性系统的特点 窄带随机过程的统计特性 正弦波加窄带高斯噪声的统计特性 高斯白噪声及其功率,3.1 随机过程的基本概念,随机过程的定义 随机过程的一般描述 分布函数与概率密度； 数字特征:均值、方差、相关函数,自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类 确定性过程。 随机过程。,3.1.1随机过程的定义,无穷多个样本函数的集合称为随即过程，记为(t).它有两个基本属性： (t)是一个时间函数; 在某一观察时刻t1上，全体样本在t1的取值(t1)是一个不含t变化的随机变量。,3.1.2 随机过程的一般描述 1.分布函数与概率密度,设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T， 其取值(t1)是一个一维随机变量。我们把随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率 简记为F1(x1, t1)，即 叫做随机过程(t)的一维分布函数。,如果存在 则称之为 的一维概率密度函数 。,随机过程 (t) 的二维分布函数： 随机过程 (t)的二维概率密度函数： 若上式中的偏导存在的话。 随机过程 (t) 的n维分布函数： 随机过程 (t) 的n维概率密度函数：,2 随机过程的数字特征 均值（数学期望）： 在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随机变量，其均值 式中 f (x1, t1) (t1)的概率密度函数, (t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :,a (t ),方差 因为 方差常记为 2( t )。 它表示随机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。,平均功率,直流功率,用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性。 两个函数间的相关函数：设f1(t) 和f2(t)是两个确定的函数.,和,统称为互相关函数,相关函数,其物理意义:描述两个函数的相象程度.,将f2(t)移动来与f1(t)比较.如果=0表示不移动,直接比较. 其值越大越相象,自相关函数:,表示同一过程在任意两个时刻上的相关程度,自相关函数:,互相关函数:,随机过程的相关函数 R（t1，t2）=E = 表示一个随机过程在不同时刻t1、t2取不同的两个函数之间的相象程度。 由于这里R(t1,t2)是徇衡量同一过程的相关程度,因此又常称为自相关函数可表示为:,3.2 平稳随机过程,3.2.1 平稳随机过程的定义 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。,性质： 一维分布则与时间t无关：f1(x1,t1)f1(x1) 二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2; ）,数字特征： 可见，（1）其均值与t无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔有关。,广义平稳：满足以上两条的随机过程式称为广义平稳过程。 注意：狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。 广义平稳的相关函数可写为:,注意：具有各态历经性的随机过程必定使平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。,3.2.2各态历经性（遍历性）,含义：随机过程中的任意实现（样本函数）都经历了随机过程的所有可能状态。 所以可用一个实现的统计特性来了解整个过程的统计特性从而使“统计平均”化为“时间平均”,例3-1 设一个随机相位的正弦波为 其中，A和c均为常数；是在(0, 2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。 【分析】(1)先求(t)的是否平稳即求 数学期望 自相关函数 (2)求(t)的时间平均值即,(3)比较,相等时具有各态历经性,否则不具备,3.2.3 平稳过程的相关函数,证明：,性质:,相关函数,(1) (t)的平均功率 (2) 的偶函数 (3) R()的上界,（4） -直流功率 （5） -交流功率,3.2.4 平稳过程的功率谱密度,功率谱密度:单位时间内每个频率成分贡献的功率.,结论:1.功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，即有,2.对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的平均功率,3. 功率谱密度分为单边谱和双边谱之分,为二倍关系,3.3 高斯随机过程,高斯过程，也称正态随机过程，是通信领域中最重要的一种过程。 1. 定义： 若随机过程 的任意n维（n=1,2,)分布都服从正态，则称它为高斯过程。 2. 性质： （1）若高斯过程是广义平稳的，则也是狭义平稳的； （2）若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯型； （3）高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯型。,3.一维概率密度函数 式中a 均值 2 方差,性质 f (x)对称于直线 x = a， a表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当a = 0和 = 1时，称为标准化的正态分布：,4.分布函数,正态分布函数是概率密度函数的积分，它表示高斯随机变量小于或等于任意取值x的概率，即 误差函数 互补误差函数,3.4 平稳随机过程通过线性系统,线性系统响应v0(t)，输入vi(t)，冲激响应h(t) 当输入是随机过程 时，输出为,假定输入 是平稳随机过程，考察 的统计特性,1. 均值,H(0)是线性系统中0频时的响应,即直流增益,与时间无关. 所以输出过程 的均值与时间无关.,2、 的自相关函数,令,i,输出过程是广义平稳的。,3、 的功率谱密度,令 则,4、输出过程 的概率分布,将 改写为和式： 可知：若 为正态随机变量 也为正态随机变量 高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。,3.5 窄带随机过程,窄带：信号频谱被限制在“载波”或某中心频率附近一个窄的频带上，中心频率远离零频,窄带波形,带宽增减,载波频率增减,3.5 窄带随机过程,窄带随机过程 可表示为： 其中： 同向分量 正交分量,统计特性： 可由窄带过程 的统计特性来确定 以及 的统计特性。,3.5 窄带随机过程,结论1：均值为0,方差为 的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量同样是平稳随机过程，且均值为零，方差相同，在同一时刻得到的 及 不相关，或统计独立。 即有下式成立：,3.5 窄带随机过程,结论2:均值为0,方差为 的窄带平稳高斯过程，其包络 的一维分布是瑞利分布,其相位 的一维分布是均匀的;且二者为统计独立的. 即:,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,正弦波加窄带高斯噪声的表示式 A和c为常数,在(0,2)上均匀分布. 于是有 式中,包络和相位的特点: 可以证明,包络服从广义瑞利分布;而相位不再是均匀分布.,分量的特点:,3.7高斯白噪声和带限白噪声 1.白噪声,定义:白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。即 n0为常