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第3章 时域瞬态响应分析,2019年5月18日,2019年5月18日,3.1 时域分析有关概念 3.2 稳定性分析 3.3 一阶系统的时域分析 3.4 二阶系统的时域分析 3.5 高阶系统的时域分析 3.6 系统的稳态误差的计算,3.1 时域分析有关概念,时域分析是指分析控制系统在典型输入信号作用下的输出响应，根据输出的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。,2019年5月18日,时域分析法的特点：,由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，所以时域分析具有直观和准确的优点； 可以从响应表达式或曲线上得到系统时间响应的全部信息； 时域分析采用的是解析方法，过程较为繁琐； 难于判断系统的结构和参数对动态性能的影响，进行系统设计时一般不用时域分析法； 对高阶系统进行分析时计算量很大，不易确定性能指标，必须借助于计算机实现。,2019年5月18日,3.1.1 时域分析常用的方法,时域稳定性分析 时域响应分析 直接由微分方程求解得出 由传递函数采用拉氏反变换的方法求出,代数判据,劳斯稳定性判据,赫尔维兹稳定性判据,稳态性能分析就是通过计算稳态误差来分析系统的准确性,控制系统的时域数学模型,微分方程,时域分析以 的解来讨论系统的特性和性能指标。,时域响应分析常采用 求解法,线性定常系统的微分方程,传递函数,微分方程求解比较困难,求输出响应的步骤：,设控制系统的传递函数为G(s),求其在任意输入信号xi(t)作用下的输出响应的xo(t) 求输入的象函数Xi(s)； 由传递函数的定义式变形求得输出的象函数Xo(s)= G(s) Xi(s)； 对Xo(s)进行反拉氏变换得输出的时域表达式xo(t)。,可用传递函数间接的评价系统的性能，具体是根据闭环系统传递函数的极点和零点来分析,复频域分析,2019年5月18日,控制系统的数学模型建立之后，就可以分析控制系统的性能。在经典控制理论中，常采用时域分析法、根轨迹法或频率响应法来分析并综合线性定常系统的性能。 时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。,2019年5月18日,2019年5月18日,输入量、干扰量同时作用于线性系统,反馈控制系统的典型结构,3.1.2 控制系统有关的概念,2019年5月18日,2019年5月18日,1 开环传递函数,注：开环传递函数并非指开环控制系统的传递函数，而是指闭环系统断开反馈点后整个环路的传递函数。,2019年5月18日,1.给定输入作用下的闭环传递函数 令D(s)=0,2 闭环系统的传递函数,2019年5月18日,2019年5月18日,2.扰动作用下的闭环传递函数 令R(s)=0,2019年5月18日,闭环系统的特征多项式,闭环系统的特征方程。其根称为闭环 系统的特征根或闭环系统的极点。 ,3 系统的零点、极点和零极点分布图,零点和极点包括开环零极点和闭环零极点。 系统的闭环零点：闭环传递函数中，分子多项式对应的方程M(s)= 0的解。 系统的闭环极点：分母多项式对应的方程D(s)=0的解。,可见闭环极点与系统的特征根等价。,系统的开环零点：开环传递函数的分子多项式等于0的所对应的方程的解。 系统的开环极点：开环传递函数分母多项式等于0的所对应的方程的解,零极点分布图,所谓零极点分布图就是在s平面上，把系统的零点和极点所对应的矢量的端点标注出来，零点用“”表示，极点用“”表示。 若系统的传递函数为 ,极点为 ，零点为-2.,4. 开环增益和根轨迹增益,设反馈控制系统的开环传递函数G(s)H(s)可以写成如下标准形式： 其中0，1，2，m，T1，T2，Tn-均为大于0的时间常数，则分子多项式中的常数K称为开环增益。 若开环传递函数又写成如下标准形式： 则分子多项式中的常数K*称为开环根轨迹增益。,2019年5月18日,动态响应与稳态响应,动态响应：又称为过渡过程或瞬态响应（过程），是指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到接近最终状态的响应过程。动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。一个实际运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，换句话说，系统必须是稳定的。 2. 稳态过程：是系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态过程又称稳态响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度，用稳态误差来描述。,3.1.3 时域响应以及典型输入信号,2019年5月18日,2019年5月18日,典型输入信号,时域响应表现了系统的动态性能。不仅取决于系统本身特性（微方），还与输入信号形式有关。 系统工作时，外加输入信号是随机的，系统分析和设计时，对各种系统性能进行比较要预先规定一些具有特殊形式的实验信号作为输入，然后比较系统的响应。,2019年5月18日,规定一些特殊的试验输入信号,各种 系统,比较各种系统对这些试验信号的响应,2019年5月18日,典型信号的选取原则,输入的形式应反映系统在工作中所响应的实际输入； 输入信号在形式上应尽可能简单，以便于对系统响应的分析； 应选取能使系统工作在最不利情况下的输入信号作为典型输入信号。 常用的典型实验信号 阶跃、斜坡、抛物线、脉冲 正弦（频率分析法）,1. 阶跃函数,阶跃函数的拉普拉斯变换为,2019年5月18日,2. 斜坡函数,斜坡函数的拉普拉斯变换为,2019年5月18日,3.加速度函数（抛物线函数）,拉普拉斯变换为,2019年5月18日,4. 脉冲函数,理想脉冲函数的拉普拉斯变换为,其中脉冲宽度为h，脉冲面积等于A，若对脉冲的宽度h取趋于零的极限，则有,当A=1（ h 0）时，称此脉冲函数为理想单位脉冲函数，记作 。,2019年5月18日,5. 正弦函数,正弦函数的拉普拉斯变换为,究竟采用哪种典型信号？,取决于系统在正常工作情况下最常见的输入信号 形式。 斜坡信号 随时间逐渐变化的输入 阶跃信号 突然的扰动量、突变的输入 脉冲信号 冲击输入 正弦信号 随时间往复变化的输入 瞬态性能指标是以阶跃信号为典型输入信号定义的。,2019年5月18日,稳定性是线性控制系统中最重要的问题,3.2 稳定的概念,一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态：,当扰动取消后，这个系统又能 够逐渐恢复到原来的状态。,稳定,不稳定,扰动取消后，系统不能 恢复到原来的状态。,条件稳定系统,b、c允许偏差范围,d、e规定偏差边界,稳定系统,不稳定系统,控制系统的稳定性的另一种定义：,若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统稳定。否则，称该系统不稳定。,控制理论中所讨论的稳定性,其实都是指自由振荡下的稳定性,也就是讨论输入为零，仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。,3.2.1 系统稳定的充要条件,若系统稳定，则,系统稳定的充要条件,若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就不稳定。,对应闭环传递函数特征根的实部,若特征根的实部均为负值，则零输入响应将随时间的推移而收敛，这样的系统就是稳定的。,稳定性是控制系统自身的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关；对于纯线性系统来说，系统的稳定与否并不与初始偏差的大小有关。,控制系统稳定的充分必要条件是： 系统特征方程式的根全部具有负实部。,闭环传递函数的极点全部具有负实部（位于左半s平面）。,例1,系统的闭环传递函数如下，判断系统是否稳定？,稳定,单位反馈系统的开环传递函数如下，判断系统是否稳定？,例2,不稳定,3.2.2 代数稳定判据,为了避开对特征方程的直接求解，讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，并以此来判断系统的稳定性。这就产生了一系列稳定判据。,劳斯判据,稳定的必要条件： 特征方程中各项系数0,稳定的充分条件： 劳斯阵列中第一列所有项0,？,劳斯阵列如下：,一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面的根数。,解：满足必要条件,1,3,-2,3,例3,K为何值时，系统稳定,劳斯判据的两种特殊情况：,1、某一行第一个元素为零，而其余各元素均不为零、或部分不为零； 2、某一行所有元素均为零。,第一列系数符号改变两次，系统有两个右根，所以，系统不稳定。,1,0,1,0,2,第一列系数符号无改变，故系统没有正实部的根。,行为0， 表明系统有一对共轭虚根，所以，系统临界稳定。,由该行的上一行元素来解决： （1）构成辅助多项式，并求导，用其系数代替全为零的行； （2）可以利用辅助方程，解出这些特征根。,2、某一行所有元素均为零,表明在 S 平面内存在两个大小相等、符号相反的实根或一对共轭虚根,显然，这些根的数目一定是偶数。,辅助多项式, 1 3,第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，可由辅助方程解出。,辅助方程,3,8,8, 1 6 8,0 0,系统临界稳定,控制系统的相对稳定性,利用劳斯判据看系统相对稳定性,若系统闭环特征根均在s左半平面，且和虚轴有一段距离，则系统有一定的稳定裕量,例 系统的特征方程为D(s)= 2s3+11s2+17s+6=0，判断系统的稳定性，并确定特征根是否全位于s=-1线以左。,解 (1)列劳斯列表,劳斯列表第一列元素符号没有变化，因此，系统稳定。 (2)进行变量代换s=z-1，得新的特征方程D(z)= 2z3+5z2+z-6=0。特征方程的 系数不全为正，所以有特征根不全在z左半平面(s=-1线以左)，继续列劳斯列表：,劳斯列表第一列元素符号变化一次，因此有1个特征根位于s=-1线以右。 实际D(s)= 2s3+11s2+17s+6=2(s2+5s+6)( s+0.5)=0，特征根为-2，-3和-0.5，与劳斯判据的结论一致。,不满足系统稳定的必要条件：特征方程中各项系数0,稳定性判据,判据之一：赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据,系统稳定的充分必要条件是：特征方程的赫尔维茨行列式Dk（k1,2,3,.n）全部为正。,赫尔维茨判据,系统特征方程的一般形式为：,各阶赫尔维茨行列式为：,（一般规定 ）,55,举例：,系统的特征方程为：,试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。,解：,第一步：由特征方程得到各项系数,第二步：计算各阶赫尔维茨行列式,结论：,系统不稳定。,例 系统的特征方程为D(s)= s4+2s3+Ks2+s+2=0，利用 赫尔维兹稳定性判据判断使系统稳定的K值范围。,解 要满足稳定的必要条件，应有特征方程各项系数为正，故满足K0。由系数排成的行列式为：,综上，系统稳定时应有K0.5。,3.3 一阶系统的时域分析,2019年5月18日,控制系统的时域性能指标,时域性能指标包括动态性能指标 和稳态性能指标两种。,动态性能指标,上升时间tr,峰值时间tp,最大超调量Mp,调整时间ts,振荡次数N,响应曲线从0首次达到稳态值xo()所用的时间,响应曲线从零时刻达到第一个峰值所用的时间。,输出量的最大值xom和稳态值xo()之差与稳态值的比值,输出响应曲线进入并一直保持在距稳态值允许的误差范围所需的最小时间。,在调整时间ts内，输出量在稳态值上下摆动的次数。,响应曲线从稳态值的10%上升到到稳态值的90%所用的时间。,稳态性能指标,稳态性能指标用稳态误差表示，是系统的控制精度的一种度量，通常在阶跃信号、斜坡信号和加速度信号作用下进行测定或计算。,系统过渡过程的平稳性,最大超调量 振荡次数,系统的快速性,调整时间,系统的准确性,稳态误差,ess= xi(t)- xo(),2019年5月18日,传递函数,结构图,3.2.1 一阶系统的时域分析,1. 单位阶跃响应,特点： 按指数规律上升 t=0处切线斜率为1/T,参数未知，可由一阶系统单位阶跃响应实验曲线确定T,98.2%,95%,99.3%,0,t,一阶系统的单位阶跃响应曲线,2019年5月18日,调整时间ts,理论上：瞬态结束进入稳态 t 工程上：与系统要求精度有关 ts=4T (误差范围2%) ts=3T (误差范围5%） ts大小作为评价系统响应快慢的指标：调整系统参数 T提高系统快速性 注：ts只反映系统特性，与输入、输出无关。,动态性能指标,2019年5月18日,2. 单位斜坡响应,2019年5月18日,3. 单位脉冲响应,98.2%,95%,99.3%,0,t,1. 一阶系统对典型输入信号的响应及响应之间关系,3.2.2 一阶系统的重要性质,2019年5月18日,一阶系统只有一个特征参数T，即其时间常数。在一定的输入信号作用下，其时间响应xo(t)由其时间常数惟一确定。 从表可以看出：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分。这一重要特性适用于任何阶次的线性定常系统线性定常系统的重要特性。 利用这一特点，在测试系统时，可以用一种信号输入推断出几种相应信号的响应结果，带来很大方便。而线性时变系统和非线性系统都不具备这种特性。,2. 结论,2019年5月18日,例题,1. 一阶系统的单位阶跃响应达稳态值的95%98%时，响应时间为,答案：34T,3. 一阶系统输入下列哪种信号会存在稳态误差（ ） A.阶跃信号 B.脉冲信号 C. 斜坡信号,C,2019年5月18日,4. 系统的传递函数分别如下所示，则当输 入信号为单位阶跃信号时，系统（）的输 出最先到达稳定状态。,C,3-1(1)(2)(3) 3-3、3-8,作业,2019年5月18日,凡是由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。在控制工程中的许多系统都是二阶系统，如电学系统、力学系统等。即使是高阶系统，在简化系统分析的情况下有许多也可以近似成二阶系统。因此，二阶系统的性能分析在自动控制系统分析中有非常重要的地位。,3.3 二阶系统的瞬态响应,2019年5月18日,3.3.1 二阶系统的数学模型,二阶系统特征方程：,2019年5月18日,特征方程的根：,2019年5月18日,欠阻尼,3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应,2019年5月18日,衰减振荡,2019年5月18日,无阻尼,等幅振荡,2019年5月18日,临界阻尼,不振荡,2019年5月18日,过阻尼,不振荡 动态过程更长,2019年5月18日,负阻尼,不相等正实根,单调发散,2019年5月18日,共轭复根,负阻尼,发散振荡,2019年5月18日,3.3.3 二阶系统的单位脉冲响应,2019年5月18日,衰减振荡,2019年5月18日,2019年5月18日,2019年5月18日,2019年5月18日,3.3.4 二阶系统的单位斜坡响应,2019年5月18日,2019年5月18日,2019年5月18日,2019年5月18日,曲线无超调,2019年5月18日,例题：,2019年5月18日,沈 阳 航 空 工 业 学 院 自 动 控 制 系,SYIAE AUTOMATION,1、根据特征根在S平面的分布，画出单位阶跃响应，并标出对应的序列号； 2、指出各响应属于哪种形式：（单调衰减 /衰减振荡 等幅振荡 /发散振荡 / 单调发散）,2019年5月18日,沈 阳 航 空 工 业 学 院 自 动 控 制 系,SYIAE AUTOMATION,1,2,3,4,5,6,1，过阻尼,=1，临界阻尼,01，欠阻尼,=0，无阻尼,-10，负阻尼,-1，负阻尼,3.4 时域分析性能指标,2019年5月18日,2019年5月18日,响应曲线从0上升到稳态值的100%所用时间,响应曲线达到第一个峰值所用时间,在响应曲线的稳态值上，用稳态值的绝对百分数做一个允许误差范围，响应曲线达到并且永远保持在这一允许误差范围内所用的最小时间,0,t,这些点已被确定,描述稳定系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随t的变化描述状态变化的指标，称为动态性能指标。,2019年5月18日,（1）上升时间tr 响应曲线从零时刻到首次到达稳态值的时间，或：响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需时间（无超调系统）反映响应曲线上升趋势表示响应速度指标。 （2）峰值时间tp 响应曲线从0到达第一个峰值所需的时间。 （3）调整时间（调节时间）ts 在响应曲线从0到达且不再超过稳态值的5%或2%误差范围所需的最少时间。（允许误差=0.05或= 0.02）,2019年5月18日,（4）最大超调量% 指在系统响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百分比,（5）振荡次数N：在调节时间ts内，xo(t)偏离xo()的振荡次数。,注： 以上各种性能指标中，上升时间、峰值时间和调节时间都表示动态过程进行的快慢程度，是快速性指标。超调量反映动态过程振荡激烈程度，是平稳性指标，也称相对稳定性能 。超调量和调节时间是反映系统动态性能好坏的两个最主要指标。,2019年5月18日,典型二阶系统动态性能指标,欠阻尼二阶系统的动态性能指标,2019年5月18日,（1）上升时间tr 当t=tr时，xo(tr)=1,上升时间tr是xo(t)第一次达到稳态时间,2019年5月18日,（2）峰值时间tP tP处有极值，故该处导数值为0,2019年5月18日,2019年5月18日,根据定义，振荡次数应为：,标准二阶系统瞬态响应指标,2019年5月18日,从平稳性看，越大越好， ， %,通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比取在0.40.8之间，相应的超调量25%2.5%。 最佳阻尼比0.707。,2019年5月18日,2019年5月18日,2019年5月18日,8.9N,求M、k、f 的数值,2019年5月18日,对于一般二阶以上的单输入单输出线性定常系统，其传递函数可以表示为：,2019年5月18日,3.5高阶系统的瞬态响应,2019年5月18日,2019年5月18日,可见，高阶系统的瞬态响应是由一些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数迭加组成的。当所有极点均具有负实部时，除了，其它各项随着t而衰减为零，即系统是稳定的。,高阶系统通过合理的简化，可以用低阶系统近似。,1、系统极点的负实部愈是远离虚轴，则该极点对应的项在瞬态响应中衰减得愈快。反之，距虚轴最近的闭环极点对应着瞬态响应中衰减最慢的项，该极点对（或极点）对瞬态响应起主导作用，称之为主导极点。工程上当极点A距虚轴的距离大于5倍的极点B距虚轴的距离时，分析时可忽略极点A。,2019年5月18日,2、闭环传递函数中，如果零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消去，称之为偶极子相消。,2019年5月18日,对分母分解因式，工程上常用的方法，一是试探法，二是计算机程序找根。,例,2019年5月18日,当考虑主导极点削去(s+60)时，只去掉s，保证静态增益不变。,2019年5月18日,2019年5月18日,2019年5月18日,本讲小结 1. 自动控制系统的时域分析法是根据控制系统在典型输入信号的作用下输出响应的时域数学表达式和响应曲线，直接分析系统的稳定性、动态性能和稳态误差等系统的品质。时域分析具有直观、准确的优点。 2. 稳定性是系统能否正常工作的首要条件。 3. 对于稳定的控制系统，工程上常用单位阶跃响应的最大超调量% ，调节时间ts和稳态误差等性能指标，评价系统性能的优劣。 4. 典型的一阶、二阶系统的性能指标与系统的参数有严格的对应关系，必须牢固掌握。对一阶、二阶系统分析的结果，往往是分析高阶系统的基础。,3.6 系统的稳态误差的计算,1、稳定 2、准确 3、快速,误差,静差：由元件不完善造成的； 原理性误差： 1、不能很好跟踪输入信号造成的； 2、由于扰动引起的。,对控制系统的基本要求：,3-6-1 稳态误差的基本概念,-,误差的两种定义： a. 从输出端定义：等于系统输出量的实际值与希望值之差。这种方法在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量。因此，一般只具有数学意义。 b. 从输入端定义：等于系统的输入信号与主反馈信号之差。,误差与偏差有简单的比例关系,当时间t趋于无穷时，e(t)极限存在，则稳态误差为,若e(t)的拉普拉斯变换为E(s) ，且,先看单位反馈系统,3-6-2 输入引起的稳态误差,一、误差传递函数与稳态误差,非单位反馈系统,例6-1,从物理意义上解释：,二、静态误差系数,静态位置误差系数,1.阶跃信号作用下的稳态误差,要消除阶跃信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有一个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。,静态速度误差系数,2. 斜坡信号作用下的稳态误差,要消除斜坡信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有两个积分环节。,静态加速度误差系数,3.等加速信号作用下的稳态误差,要消除等加速信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有三个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。,输入,误差系数,稳态误差,系统型别,小结：,位置误差,速度误差,加速度误差,阶跃,斜坡,加速度信号,输入：,1、,2、,单位反馈系统,非单位反馈系统,稳态误差可看成各典型信号作用下的误差的总和。,3、上述结论对于非典型输入信号具有普遍意义。因为输入信号的变化一般比较缓慢，可将其在 t=0 点附近展成台劳级数,例,例：系统结构如下图：若输入信号为,试求系统的稳态误差。,解： 判别稳定性。系统的闭环特征方程为, 根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接求,从结构图看出，该系统为单位反馈且属型系统。因此,6-3 扰动引起的误差,例6-3,例6-