线性规划与非线性规划方法(2次课)(1).ppt

第七讲 线性规划与非线性规划,内容: 本讲主要介绍线性规划问题的求解 目的: 接触最优化问题,学习线性规划算法的 MATLAB实现(基于单纯型法变种) 要求: 能够直接对小规模线性规划问题进行求解 了解线性规划问题的基本概念、形式和算法 掌握线性规划问题的图解法(2维)和lp算法 通过范例,掌握线性规划问题求解一般过程,关于线性规划的引入和概述,线性规划隶属于运筹学中的约束优化，简单说就是目标函数(希望进行最优化的指标)和约束条件(决策变量受到的限制)均为线性函数的约束优化(否则称为非线性规划) 线性规划问题是企业运作、科技研发和工程设计的常见问题，应用十分广泛。具有代表性的算法有单纯型法、椭球法和Karmarkar算法。随着计算机硬件和软件技术发展，几十万变量和约束的线性规划问题已经很普通。 MATLAB优化工具箱 Optimization Toolbox 采用投影法(单纯型法变种)，由函数linprog实现求解。,解决规划问题的基本流程,第1步：问题的分析理解及描述（数学建模）,第2步：解决问题的整体目标（目标函数）,第3步：影响目标的各种限制条件（约束条件）,第4步：应用相关函数获得求解（算法实现）,哪样一些问题可以描述成为线性规划问题？,线性规划模型的一般形式,当 均为线性函数，上述优化模型称为线性规划，否则称为非线性规划。 关于线性规划的形式，有诸如标准形式、规范形式等之分，在这里我们只关心MATLAB能够接受的形式：,一般来说不同形式之间可以转换(YCXp14),z目标函数/c价值向量/A约束矩阵/b右端向量 一个满足约束的x-可行解/可行解集合-可行域,线性规划的图解法(2维情形)1,通过一个简单的实例,巩固对线性规划的若干 概念的理解： exp.1 图解法求解线性规划问题:,将前三个约束条件的不等号改为等号,就是如上三条直线,下面考察直线L1, L2, L3及坐标轴围成的可行域:,线性规划的图解法(2维情形)2,如图所示:五边形OQ1Q2Q4Q3构成可行域,Q1,Q2,Q4(4,1),Q3,Z1 Z2 Z3 Z4 Z5,当目标函数z=3x1+x2取不同值时，表示一组平行直线，如图中虚线，最优解在Q4点，Zmax=13,线性规划的图解法(2维情形)3,一些直观结论和定理： 在2维情形下，可行域为直线组成的凸多边形，目标函数的等值线为直线，最优解在凸多边形的 某个顶点处取得。 可行域空集，如改例中第3个约束为-3x1+2x214，则无最优解； 可行域无界，如去掉例中第3个约束-3x1+2x214，则可能无最优解； 无穷多最优解，如改例中第3个约束为3x1+x2 14，则最优解在凸多边形一条边上取得； 推广到n维欧氏空间，线性规划问题若有最优解，则最优解必是作为可行域的凸多面体的某个顶点。,线性规划的LP解法,相关函数介绍：lp,x=lp(c,A,b) x=lp(c,A,b,v1,v2) % 即有约束v1x v2 x=lp(c,A,b,v1,v2,x0) % x0为初始解，缺省为0 x,lag=lp() % lag为拉格朗日乘子，非 零分量对应于起作用的约束条件 x,lag,how=lp() % how给出求解信息，无 可行解infeasible,无有界解unbounded,成功ok 不过在高版本中lp已被linprog取代！,lp函数求解示例：,针对前述exp.1可如下计算： c=-3,1; a=-1,1;1,-2;3,2; b=2,2,14; v1=0,0; x=lp(c,a,b,v1) z=-c*x x = 4.0000 1.0000 z = 13.0000,c=-3;1; a=-1,1;1,-2;3,2; b=2;2;14; v1=0,0; x=lp(c,a,b,v1) z=-c*x,线性规划的LP解法,相关函数介绍：linprog,x=linprog(f,A,b) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) % 增加约束Aeq*x=beq x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % 设计变量下上界 x,fval,exitflag,output,lambda=linprog() % fval返回目标函数值/exitflag返回退出条件/output返回优化信息/lambda返回显示哪些主动约束（参数繁杂会用即可）,linprog函数求解示例：,exp.2求解下列线性规划问题：,f=-5;-4;-6;A=1,-1,1;3,2,4;3,2,0; b=20;42;30;lb=zeros(3,1); x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,A,b,lb);x,fval,lambda.ineqlin, lambda.lower,范例-化工公司产品生产计划,1.问题：略 2.建模：,3.求解：,范例-化工公司产品生产计划,f=-400;-1000;-300;200; A=0,-2,1,1;2,3,0,0;3,4,0,0; b=0;16;24; Aeq=0,-2,1,1;beq=0; lb=zeros(4,1); ub=inf*ones(4,1);ub(3)=5;x0=zeros(4,1); x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x=lp(f,A,b,lb,ub,x0,1),Thats all3Q!,第七讲 线性规划与非线性规划,内容：本讲主要介绍非线性规划问题的求解 目的：学习非 线性规划算法的 MATLAB实现 要求：能够运用软件直接对小规模非线性规划 问题进行求解 了解非线性规划问题区别于线性规划问题的基本概念、形式和算法 掌握约束和无约束优化函数constr和fminu 通过范例,掌握非线性规划问题求解一般过程,关于非线性规划的引入和概述,非线性规划同时涵盖运筹学中的约束优化和无约束优化两种类型，简单说就是目标函数或约束条件(可以不带constraint)均为非线性函数的优化模型，称为非线性规划。 非线性规划问题同样是企业运作、科技研发和工程设计的常见问题，甚至在某种意义上应用面比线性规划更广。因为非线性本身就意味着混沌和无序，这与现实世界一致。 MATLAB优化工具箱(Optim)针对约束和非约束分别由函数constr和fminu进行求解。 constr升级为fmincon，fminu升级为fminunc,在后继版本中不再提供支持？熟悉新函数,版本更新带来的函数升级,非线性规划模型的一般形式1,下面分别给出约束和非约束优化的一般形式，以及各自简单的例子:,非线性规划模型的一般形式2,无约束优化只有一个目标函数，这个目标函数必须是非线性的，实际问题真正无约束并不多:,非线性规划方法概要,由于本身的复杂性，非线性规划远不如线性规划问题那样具备很高效率的求解方法。 相对而言无约束优化更容易求解一些，一个基本的思路就是，化约束优化为一系列无约束优化问题，例如：序列无约束极小化技术、可变容差法，等等 对于具体算法细节，我们虽然不会本课程中深入探究，但能够从算法本身的着手改进将会是很有价值的工作，比如本章作者开发的逼近精确罚函数法，感兴趣可以仔细研读,MATLAB非线性规划函数,约束优化函数介绍：constr,调用语法：constr (fmincon) X,OPTIONS = constr(FUN,x0,OPTIONS,VLB,VUB) 具体含义请参见联机help,MATLAB非线性规划函数,无约束优化函数介绍：fminu (fminunc),调用语法： fminu X,OPTIONS = fminu(FUN,x0,) 具体含义请参见tbp154 求解非线性规划问题，需要首先编制一个m文件，描述需要求解的问题，也即求解需以“被调”的形式进行,非线性规划问题的范例-圈地1,某旅游发展有限公司计划开发度假村，公司要求先用一批旧砖建一圈矩形围墙，以便存放建筑材料旧砖的数量是固定的，围墙的高度不能低于两米，围墙围住的面积越大越好要你来设计。,非线性规划问题的范例-圈地2,非线性规划问题的范例-圈地3,具体非线性规划模型：,tbp172.m function F,G= tbp172(x) F=-x(1)*x(2); G(1)=(x(1)+x(2)*x(3)-120;,非线性规划问题的范例-圈地4,loadtbp172.m x=10;10;2; options(13)=0 %等式约束的个数为0 xl=0;0;2; xu=inf;inf;inf; x,options=constr(tbp172,x,options