非线性信号处理21非线性动力学初步

非线性时间信号处理,陶超 2010.3.3,第二章 非线性动力学初步,2.1动力学系统的含义,A means of describing how one state develops into another state over the course of time. Technically, a dynamical system is a smooth action of the reals or the integers on another object. When the reals are acting, the system is called a continuous dynamical system, and when the integers are acting, the system is called a discrete dynamical system.,2.2 线性系统-微分方程的的矩阵形式,二阶线性微分方程 记 矩阵形式：,三阶线性微分方程 ,2.3 常系数线性微分方程组的解与相图,常系数微分方程组的解,常系数微分方程组,解可以写成一个标量和一个向量的乘积,由于,所以,或者,是非零解当且仅当v是特征值对应的特征向量,如果特征方程有n个互不相同的实特征值1n， 它们所对应的特征向量为v1,vn， 方程组的n个线性无关解 通解为,得到特征值,第一步：解特征方程,常系数微分方程组的求解步骤：,第二步：解线性方程组,例一（鞍点）,考虑方程,第一步：求特征值,第二步：求特征向量,方程的通解：,时间序列,x1(0)=2, x2(0)=-2 (c1=2, c2=0),x1(0)=0.1, x2(0)=0.1 (c1=0, c2=0.1),x1(0)=2, x2(0)=-1.995 (c1=1.9975, c2=0.0025),相图,(x1, x2)坐标平面中画出的解的图像也非常有指导性 x空间中的图像称为解的相图(2维-相平面，高维-相空间) 有两个异号实特征值的线性系统的零解（相平面的原点）称为鞍点。也称这种系统为鞍点,例二（稳定节点）,考虑方程,第一步：求特征值,第二步：求特征向量,方程的通解：,稳定节点的相图,两个负实特征值 -稳定节点 节点(node)本意是群枝分出的点 稳定(stable) t趋向无穷大时，解趋向于原点,v2,例三（不稳定节点）,考虑方程,第一步：求特征值,第二步：求特征向量,方程的通解：,不稳定节点的相图,两个正实特征值 -不稳定节点,例四（零特征值）,考虑方程,第一步：求特征值,第二步：求特征向量,方程的通解：,相图,例五（复特征值）,考虑方程,第一步：求特征值,第二步：求特征向量,方程的通解：,相图,x2,两个纯虚数特征值-中心点,例六（稳定焦点）,考虑方程,第一步：求特征值,第二步：求特征向量,方程的通解：,稳定焦点,特征值是一对负实部共轭复数的微分系统称之为稳定焦点,x1,例七:拟周期(准周期)系统,考虑非耦合调和振子,令,方程的解,准周期解,若R1,R2都不等零，则这个解是以T为周期的周期解当且仅当存在整数k,m使得,若解是周期解，两个频率的比值必须是有理数，若这个比值是无理数，则