随机事件及其运算.ppt

第 一 章,随 机 事 件 及 其 概 率,二、 随机现象,一、 概率论的诞生及应用,三、 随机试验,四、样本空间 样本点,五、随机事件的概念,六、随机事件间的关系及运算,1.1 随机事件及其运算,1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( ac ),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念,一、概率论的诞生及应用,1. 概率论的诞生,2.本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学,技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中.,例如：,1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测,都与概率论紧密相关；,2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在,临床中应用，均要用到假设检验；,6. 探讨太阳黑子的变化规律时,时间,可夫过程 来描述;,7. 研究化学反应的时变率，要以马尔,序列分析方法非常有用;,4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其,发射都离不开可靠性估计;,3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计,和数据处理；,5. 处理通信问题, 需要研究信息论；,水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都,可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知,目前, 概率统计理论进入其他自然科学,装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、,8. 生物学中研究 群体的增长问题时，,提出了生灭型随机模型，传染病流行问,题要用到多变量非线性生灭过程；,9. 许多服务系统，如电话通信、船舶,识就是 排队论.,领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经,济的稳定增长等问题 , 都大量采用概率,统计方法. 法国数学家拉普拉斯(Laplace),说对了: “ 生活中最重要的问题 , 其中绝大,领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领,多数在实质上只是概率的问题.”,英国的逻辑学家和经济学家杰文斯,曾对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正,的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那,么我们就寸步难行, 无所作为.,在很多很多情况下，当（其它）科学完全不可能回答“这个命题是真实的吗？”这个问题时，概率论却给出了一个基础，来判断该命题在多大情况下可能是真的。,在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,自然界所观察到的现象:,确定性现象,随机现象,二、随机现象,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”.,2. 随机现象,“函数在间断点处不存在导数” 等.,结果有可能出现正面也可能出现反面.,确定性现象的特征,条件完全决定结果,结果有可能为:,“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.,实例3 “抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”.,实例2 “用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况”.,结果: “弹落点会各不相同”.,随机现象的分类 个别随机现象现象：原则上不能在相同条件下重 复出现 大量性随机现象现象：在相同条件下可以重复出 现,随机现象的特征,条件不能完全决定结果,2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,说明,1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.,1. 可以在相同的条件下重复地进行;,2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果;,3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.,定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.,三、随机试验,说明,1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等.,实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.,分析,2. 随机试验通常用 E 来表示.,(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;,1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.,2.“从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数”.,同理可知下列试验都为随机试验,(2) 试验的所有可能结果:,正面，反面;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.,3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.,4. 考察某地区 10 月份的平均气温.,5. 从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.,四、样本空间 样本点,定义1 对于随机试验E，它的每一个可 能结果称为样本点，由一个样本点组成的 单点集称为基本事件。所有样本点构成的 集合称为E 的样本空间或必然事件，用 或S表示。样本点由 表示。 我们规定不含任何元素的空集为不 可能事件，用 表示。,其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度,观察某地区每天的最高温度与最低温度,观察总机每天9:0010:00接到的电话次数,投一枚硬币3次，观察正面出现的次数,例 给出一组随机试验及相应的样本空间,随机事件 随机试验 E 的样本空间 的子集(或某些样本点的子集），称为 E 的随机事件, 简称事件.,试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, ,“出现6点”,“点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.,五、随机事件的概念,基本事件 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件.,必然事件全体样本点组成的事件,记为, 每次试验必定发生的事件.,随机事件发生 组成随机事件的一个样 本点发生,不可能事件不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.,随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母X,Y,Z表示，很多事件都可以用随机变量表示。,写出掷骰子试验的样本点, 样本空间, 基本事件, 事件A出现偶数, 事件B出现奇数,解：用 表示掷骰子出现的点数为,基本事件,例,随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样 本空间的子集就是随机事件.,随机试验,样本空间,随机事件,必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件,1. 包含关系,图示 B 包含 A.,B,六、随机事件间的关系及运算,I.随机事件间的关系,若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事件A与事件B相等,记作 A=B.,2. 事件的和(并),图示事件 A 与 B 的并.,A,3. 事件的交 (积),推广,图示事件A与B 的积事件.,A,B,AB,和事件与积事件的运算性质,4. 事件的互不相容 (互斥),若事件 A 、B 满足 则称事件 A与B互不相容.,实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.,“骰子出现1点” “骰子出现2点”,图示 A与B互斥,实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 .,说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形式A+B. 任意事件A与不可能事件为互斥.,5. 事件的差,图示 A 与 B 的差,事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.,若事件 A 、B 满足 则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作,实例 “骰子出现1点” “骰子不出现1点”,图示 A 与 B 的对立.,B,6. 事件的互逆（对立）,对立事件与互斥事件的区别,B,A、B 对立,A、B 互斥,互 斥,对 立,II.事件间的运算规律,B,C,A,C,分配律 图 示,A,（1）第三次未中奖,（2）第三次才中奖,（3）恰有一次中奖,（4）至少有一次中奖,（5）不止一次中奖,例 化简事件,解 原式,补充：事件域（-algebra ）,事件是样本空间 的某些子集，如果把是事件的子集归成一类，记作,称为事件域,即 =A|A ,A是事件,（1）由于 , 是事件，所以 , .,（3）交运算可通过并与对立实现.,（2）又事件间要求有并、交、差、对立等运算.,（4）差运算可通过交与对立实现（B-A=B）.,定义：设 为一个样本空间， =A|A ,A是事件，若 满足： 1. 2. 若A ,则 3. 若Ai ,i=1,2,则A1A2Ai. 则称集合类为一个事件域（-代数)