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山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,无穷级数,第一节 数项级数,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第一节 数项级数的概念和性质,一. 数项级数的概念,中学: 无穷等比级数,就是无穷级数的一种,定义,将其各项依次累加所得的式子,称为数项无穷级数,设有数列,项,通项,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,问题:如何理解无穷个数相加?,变化趋势,1. 部分和:,2. 部分和数列:,3. 收敛:,称级数收敛,称为级数余项,极限不存在,称级数发散,例. 判断级数敛散性:,(1). 1+2+3+n+,级数发散,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,(2).,级数收敛,=1,(3).,q =1时,q =-1时,极限不存在,级数发散,级数发散,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,级数发散,总之:,级数收敛,级数发散,(4).,级数发散,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,二. 数项级数的性质,性质1,若级数 收敛于和 S, k 为常数,则,证,推论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,敛散性不变,性质2. 两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,性质3. 改变有限项不影响级数的敛散性,证,不妨设去掉前k 项,得级数,常数,原级数部分和,时,同时敛散,因此,不影响级数的敛散性.,例:,因为 和 都收敛,级数收敛,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,性质4. 收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变,证:,设收敛级数,新级数,注意: (1). 加括号后所得新级数发散,则原级数发散.,(2). 加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛.,例如: (11)+ (11)+ (11)+收敛,而11+11+11+发散.,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,性质5.(级数收敛必要条件),若级数 收敛,则,证:,(2). 时,级数 不一定收敛,判断级数发散 的第一步骤,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,但可以证明级数发散,假若级数收敛,则,但是,矛盾,例如:调和级数,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,(2),不存在,级数发散,
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