无穷级数第一节常数项级数.ppt

- 1 -,第一节 常数项级数,常数项级数的概念及基本性质 正项级数及其判敛法 任意项级数,- 2 -,一 常数项级数的概念及基本性质,1 常数项级数的概念,引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A .,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,- 3 -,引例2.,小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减,少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.,由自由落体运动方程,知,则小球运动的总时间为,设 tk 表示第 k 次小球落地的时间,第 k 次小球跳起的,高度为,米，,因此,- 4 -,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加, 简记为,收敛 ,则称无穷级数,并称 S 为级数的和,记作,- 5 -,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散 .,显然,- 6 -,例1. 讨论等比级数,(又称几何级数),( q 称为公比 ) 的敛散性.,解: 1) 若,从而,因此级数收敛 ,从而,则部分和,因此级数发散 .,其和为,- 7 -,2). 若,因此级数发散 ;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,则,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,此时,- 8 -,如果级数,是发散的。,解,例2. 说明调和级数:,是收敛的，,则,但,所以，,级数,是发散的,- 9 -,例3. 判别下列级数的敛散性:,解: (1),所以级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,- 10 -,(2),所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,- 11 -,例4.,判别级数,的敛散性 .,解:,故原级数收敛 , 其和为,- 12 -,2 无穷级数的基本性质,性质1 若级数,收敛于 S ,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛 ,证: 令,则,这说明,收敛 , 其和为 c S .,说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .,即,其和为 c S .,即,- 13 -,性质2 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,证: 令,则,这说明级数,也收敛, 其和为,即,- 14 -,说明:,(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,不一定发散.,例如,(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .,(用反证法可证),- 15 -,例5,判别下列级数的敛散性，如果收敛，求其和,解,（1）,因为,均收敛，,所以,收敛，,且,（2）,因为,收敛，,发散，,发散。,- 16 -,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级,数的敛散性.,证: 将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时, 其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况 .,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,- 17 -,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级,数的和.,证: 设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.,注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,因此必有,例如，,用反证法可证,例如,- 18 -,例6.判断级数的敛散性:,解: 考虑加括号后的级数,发散 ,从而原级数发散 .,- 19 -,设收敛级数,则必有,证:,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,性质5. 收敛级数的必要条件,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如, 调和级数,虽然,但此级数发散 .,- 20 -,例7.说明下列级数是发散的,解,（1）,所以原级数是发散的,（2）,所以原级数是发散的,（3）,级数是发散,- 21 -,（4）,故,从而,这说明级数(1) 发散.,- 22 -,二 正项级数及其判敛法,若,基本定理,收敛的充要条件是,部分和,有界 .,若,收敛 ,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数 .,单调递增,收敛 ,也收敛.,正项级数,序列,- 23 -,都有,定理2 (比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1) 若级数,则级数,(2) 若级数,则级数,证:,设对一切,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,分别表示级数,是两个正项级数,(常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,部分和, 则有,- 24 -,(1) 若级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2) 若级数,因此,这说明级数,也发散 .,也收敛 .,发散,收敛,级数,- 25 -,例8. 讨论p-级数,的收敛性,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散 .,发散 ,- 26 -,因为当,故,考虑级数,的部分和,故级数,时,2) 若,p 级数收敛 .,收敛 ,由比较审敛法知,- 27 -,重要参考级数: 几何级数, p-级数, 调和级数.,例9. 判别下列级数的敛散性,解,(1),而,发散,所以,原级数发散,- 28 -,(2),收敛，,所以,收敛.,(3),收敛，,所以,收敛.,(4),所以,原级数收敛,收敛,- 29 -,例10. 判别下列级数的敛散性,解,(1),当,时，,则级数,发散，,所以级数,发散.,- 30 -,(2),时，,对于级数,由于,则收敛，,所以级数,收敛.,- 31 -,定理3. (比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,证: 据极限定义,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,- 32 -,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散 ;,(3) 当l = 时,即,由定理2可知, 若,发散 ,(1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时,由定理2 知,收敛 ,若,- 33 -,特别取,推论（极限判别法）,设,为正项级数，,如果,则级数,收敛；,如果,则级数,发散；,- 34 -,例11 判别下列级数的敛散性,解,(1),根据比较审敛法的极限形式知,(2),根据比较审敛法的极限形式知,收敛,- 35 -,(3),根据比较审敛法的极限形式知,(4),根据比较审敛法的极限形式知,- 36 -,例12 判别级数,的敛散性.,解,当,时,当,时，,当,时,发散，,当,时，,收敛,根据比较审敛法的极限形式知,- 37 -,定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,证: (1),收敛 ,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,由比较审敛法可知,- 38 -,因此,所以级数发散.,时,(2) 当,说明: 当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,从而,- 39 -,注意,(1),当,时比值审敛法失效;,条件是充分的,而非必要.,(2),- 40 -,(3),在判别收敛时，,求极限过程不可缺，,而,事实上,- 41 -,例13 判别下列级数的收敛性:,(1),(2),(3),解,(1),所以,收敛.,- 42 -,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,(2),所以,发散,- 43 -,的敛散性 .,解:,根据定理4可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,例14. 讨论级数,- 44 -,对任意给定的正数 ,定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正,则,证明提示:,即,分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.,项级数, 且,- 45 -,例15. 证明级数,收敛于S ,近似代替和 S 时所产生的误差 .,解:,由定理5可知该级数收敛 .,令,则所求误差为,并估计以部分和 Sn,- 46 -,三 任意项级数,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,1 交错级数,- 47 -,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S, 且,故,- 48 -,例16 判别级数,的收敛性.,解,(1),且,所以,收敛.,(2),原级数收敛.,- 49 -,2、绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级,收敛 ,数,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 ：,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,- 50