月6日考研第二章导数与微分(上.ppt

1,第二章,导数与微分,2,基本内容,一、导数与微分的概念,1导数定义：,也记作,或,3,其它形式,也记作,或,4,当,时,为右导数,当,时,为左导数,2.左导数右导数,5,3.导函数的定义：,则任意点处的,导数，叫导函数.,6,导函数的定义,解,7,4.可导与连续的关系：,可导必连续，,连续不一定可导，,必不可导.,不连续,思考,8,9,注意：,10,11,二、求导的基本公式,12,三、求导法则,(其中 ),1.函数和、差、积、商的求导法则,2.复合函数的求导法则,13,3.反函数的求导法则,注意：,使用求导法则的前提是“各自可导”.,四、高阶导数,1.定义：,即,存在,则称,14,记作,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,相应地，,称为零阶导数，,称为一阶导数.,一般地，,的n阶导数.,2.高阶导数的计算：,(C为常数),直接法和间接法,15,(3)乘积,该公式称为莱布尼兹公式，它和二项式公式有类似的记忆,3.高阶导数的基本公式,16,17,五、几类特殊函数的导数,1.隐函数求导法,2.幂指函数的求导法,幂指函数的求导方法有两种：,若幂指函数为,方法1：,对数求导法，,两端对x求导：,直接求导法,18,变形为,然后用复合函数,求导法求导.,方法2：,利用复合函数求导法,19,3.由参数方程所确定的导数,由复合函数及反函数的求导法则得,即,反函数,20,六、应用,1.几何应用,(1)几何意义：,是y=f(x)在点,处切线的斜率.,(2)切线、法线的方程：,切线的方程：,法线的方程：,21,2.物理应用,瞬时速度：,瞬时加速度：,22,23,九、微分的概念,1.定义：,及,在这个区间内，,是可微的，,记作,或,即,(微分的实质),24,由定义知:可微,2.可微的充要条件,函数,且,4.可导与可微的关系:,可微,可导,连续,有极限,3.微分的计算公式:,25,1)基本初等函数的微分公式,5. 微分运算公式与法则,26,1)微分的四则法则：设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),2) 微分法则,2) 复合函数的微分法则：,结论：,无论u是自变量还是中间变量，,形式总是,这种特性称为一阶微分形式的不变性,27,1)表示导数时能显示谁是函数谁是自变量,2)表示微分时有商的含义，故,3)隐含着一阶微分形式的不变性.,28,解,典型例题分析,题型一、已知导数求极限,原式=,29,30,例2.设,讨论 在 处的可导性,并求,解,不存在,不连续，从而不可导.,但是,31,解:,原式 =,且,联想到凑导数的定义式,例3.,32,例4.,解:,题型二：已知极限求导数,33,D,34,题型三：利用导数的定义求函数在某点的导数,提示：以下情况必须用导数的定义求导数,1.求分段函数在分界点处的导数时；,2.不符合求导法则的条件时；,3.表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的用求导法则.,例5.,解:,注意：可导 可导=可导；可导 不可导就不一定可导.,注意：可导 可导=可导；可导 不可导就一定不可导.,35,1.分段函数在分界点处的求导问题,用这种方法会把可导的变不可导，不可导的变可导,36,37,例6,解,用定义,38,例7,解,39,例8.,解,分析:,不能用公式求导.,求左右极限,40,例9 讨论下列函数在x=0点的连续性和可导性,解,41,例9 讨论下列函数在x=0点的连续性和可导性,解 2,42,2.当不满足求导的条件时,例10,必须用定义,解,43,可导,例11,解,注意：求导法则的成立是有条件的.,44,