泰勒公式和泰勒级数.ppt

一 幂级数 ,定理1 如果幂级数,的系数满足条件,| |,则 (1)当0 l +时,(2)当l =0时, R=+ ;,(3)当l = +时, R=0.,二 幂级数的收敛半径,三、幂级数的性质,1 加减法,设f(x)= 和g(x)= 的收敛半径,分别各为R10和R20 , 则,= f(x) g(x).,的收敛半径 R minR1, R2.,2 设幂级数 的收敛半径R0, 则在收敛区间(R, R)内, 其和函数S(x)是连续函数.,若级数 在端点收敛, 则S(x)在端点单侧连续.,3 幂级数 的和函数S(x)在收敛区间(R, R)内可导, 并可以逐项求导任意次, 且求导后级数的收敛半径不变.,即 f(x) =,x (R, R),4 幂级数 的和函数S(x)在收敛区间(R, R)内可积, 并可逐项求积分, 且积分后级数的收敛半径不变.,x (R, R),即,n=1,(an xn),注 : 常用已知和函数的幂级数,(1),(1x1),(2),(3),(4),(5),5,二、麦克劳林(Maclaurin)公式,三、泰勒级数,一、泰勒公式的建立,7.6 泰勒(Taylor)公式与泰勒级数,一次多项式,在微分的应用中有近似计算公式:,若 f (x0)存在, 则在 x0点附近有,f (x) = f(x0) + f (x0) (xx0),f (x) f(x0) + f (x0) (xx0),+ o(xx0),需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,不足: 1. 精确度不高;,2. 误差不能定量的估计.,希望: 在x0点附近, 用适当的高次多项式,Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n, f (x),一、泰勒公式,猜想,2 若有相同的切线,3 若弯曲方向相同,近似程度越来越好,n次多项式系数的确定,1 若在x0点相交,Pn(x0)= f (x0),Pn (x0)= f (x0),Pn (x0)= f (x0),y=f(x),假设 Pn(k)(x0)= f (k)(x0),y=Pn (x),x0,即有,Pn(x) =a0 +a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n,假设 Pn(k)(x0)= f (k)(x0),Pn (n) (x) =n! an,Pn (x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+nan(xx0)n1,Pn (x)=2a2+32a2(xx0)+n(n 1)an(xx0)n2,a0 = f(x0),2a2=f (x0),n!an=f(n)(x0),k=0, 1, 2, 3, , n,令x = x0得,a1=f(x0),a0 = f(x0),a1=f(x0),k=0, 1, 2, 3, , n,代入Pn(x)中得,Pn(x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+ (xx0)2 + ,+ (xx0)n,Pn(x) =a0 +a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n,称为函数 f (x)在x0处的泰勒多项式.,k=0, 1, 2, 3, , n,称为泰勒系数,f(x) = Pn(x) + o(xx0)n .,其中,定理1 (泰勒中值定理) 若函数f(x)在x0点的某邻域UR (x0)内具有直到n+1阶连续导数, 则当x取UR (x0)内任何值时, f (x)可按(xx0)的方幂展开为,f (x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+,( 在x0与x之间),+Rn(x),公式(1)称为函数 f (x)在x0处的泰勒公式.,(1),Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.,泰勒系数,k=0, 1, 2, , n,是唯一的.,设 f (x)= f(x0)+f (x0)(xx0)+,k,证,由于f(x)在UR (x0)内具有n+1阶连续导数,作辅助函数,(t)=f(x)f(t)+f (t)(xt)+,(x)=0,=(x0),不妨设 x0x,则(t)在x0, x连续, 在(x0, x)可导,罗尔定理知, 至少存在一点(x0, x), 使()=0,因,(t)= f(t),f(t)(xt) f (t), ,所以,(x0, x),故,解得 k= f(n+1)(),x0x时同理可证,其中,f (x)=f(0)+f (0) x+,1 当x0=0时,( 在0与x之间),或令 = x, 0 1, 则,+Rn(x) .,称为函数 f (x)的麦克劳林(Maclaurin)公式.,2 f (x) f(x0)+f (x0)(xx0)+,其误差为: Rn(x),解,例1* 求f(x)=e x 在x=0的n阶泰勒公式.,因为 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, ,所以 f (n)(0)=e 0=1, n=1, 2, 3, ,于是 f(x)=e x 在x=0的n阶泰勒公式为:,其中,0 1.,定义 如果函数f (x)在x0的某邻域内是存在任意阶导数,则幂级数,称为函数f (x)在x0处的泰勒级数.,= f(x0) + f (x0)(xx0),二、泰勒级数,称为函数 f (x)的麦克劳林级数.,问题: 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,解,例2* 求 f(x)=sinx 在x=0的泰勒级数.,当n=2k时,f (2k)(0)=sin(k )=0,k=0,1,2,当n=2k+1时,f (2k+1)(0)=sin (k + ),= (1)k ,得,因,=0,于是 R=+,定理2 f(x)在x0点的泰勒级数在UR (x0)内收敛于f (x) 在UR (x0) 内, Rn(x)0.,=0,所以 sin x =,0,其中,收敛区间为: (, +).,x(, +).,即,麦克劳林多项式逼近sin x,y=sinx,y=x,7.7 初等函数的幂级数展开式,一、直接法(泰勒级数法) 二、间接法 三、常见函数的幂级数展开式,步骤:,(1) 求 f (n)(x), n=0,1,2, ,(4) 讨论,?,并求出其收敛区间.,(3) 写出幂级数,利用泰勒公式或麦克劳林公式将f(x)展开为幂级数,若为0, 则幂级数在此收敛区间内等于函数 f(x);,若不为0, 则幂级数虽然收敛, 但它的和不是 f(x).,一、直接法(泰勒级数法),(2) 计算 an= f (n)(x0), n=0,1,2, ,解,例1 将 f(x)=e x 在展开成 x的幂级数.,因 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, ,f (n)(0)=e 0=1,于是 f(x)=e x 在x=0的麦克劳林级数为:,其中,0 1,=0,所以 e x =1+x+,x+.,收敛区间为: (, +),二项展开式,+ +nxn1+x n,(1+x)n=1+nx+,(1+x) = 1+x+,?,解,例2 将 f(x)=(1+x ) 展开成 x的幂级数.,n=0,1,2,f (n)(0)=(1)(2)(n+1),=1,得,(1+x)(n) =(1)(2)(n+1)(1+x)( n) ,注意: 当x=1时, 级数的收敛性与 的取值有关., 1, 收敛区间为: (1, 1).,1 0, 收敛区间为: (1, 1., 0, 收