用复变函数来表示平面向量场.ppt

2.4 平面场,2.4.1 用复变函数来表示平面向量场,物理上所谓“场”就是指每一点逗对应有物理 量的一个区域，在这里，只研究平行于一个 平面的定常向量场，即场中的向量都平行一 个平面S，而且垂直于S的任何一条直线上的,内的场示。,点处的向量都是相等的，场中的向量于时 间无关，显然，这种向量场在所有平行于S 的诸平面内场的分布情况是完全相同的， 因此它完全可以用于平行于S的平面,图(2.4.1),图(2.4.2),在平面,内取定直角坐标系,，于是,场中每一个具有分量,图(2.4.2)便可用复数,来表示,由于场中的点可用复数,来表示，所,以平面向量场,可借助于,复变函数：,来表示，,已知某以复变函数,由此可作出对应的向量场为：,同样，考虑垂直于均匀带电的无限长直导线的所有平面上，电场分布情况完全相同，因而可以取其中以平面作代表，当作平面定常向量场来研究，由于电场强度向量,所以该平面场可以用一个复变函数,来表示。,2.4.2 平面流体场,设“流体是不可压缩”是指流体的密度不 因压力的变化而变化。取流体所在的平面 为复平面，场内各点处的速度向量为：,若在某一区间D内该场是无源的，那么：,的全微分，即：,是某一二元函数,因而,在这个函数的等值线,上有,上式表明，在曲线,上，场的,向量与该曲线相切，因此称此曲线,为流线，称函数,为流函数。,又若在区域D内，该场是无旋的，则有：,所以,的全微分，即：,而,因此,是场,的势函数，曲线,称为等势线,在等势线上，有：,若在区域D内，该场无源又无旋，则有：,因此，当上述四个偏导数连续时，,构成一个解析函数，通常称此函数，,为这个场的复势。由(2.2.2)知,于是有,通常称,是该场的复速度。,从上述讨论可以看到，一个无源无旋的平面流体场的复势是一个解析函数，反之，已知一个解析函数，由此可构造出一个平面流体场，而该流体场的复势正是这个解析函数来表示，这就是解析函数的物理意义。,除此之外，用复势来刻画流动比用复速度方便，因为由复势求复速度只用到求导数，反之则要用积分，而且由复势容易求流线和势线，这样就可以了解流动的情况。,例 1 考查复势为,故势线是,流线是,所以场中任一点的流速为,方向指向x轴正向。,该场的流动情况如（图2.4.3)所示，这种流体称为均匀常流（实线表示流线，虚线表示势线）。,流线,等势线,图(2.4.3),例 2 设原点是强度(在单位时间流出或漏去 的液量）为N0源头（或N0的沟汇)。而在无穷 远处流体保持静止，并且在平面上没有其他的源 头和沟汇，显然，流线是由原点发出的半射线， 等势线是以原点为中心的圆周。速度的大小仅与 点z的模有关，方向与圆周,的外法线的方,向一致，因而流速向量可表示为：,由于流体是不可压缩的，流体在任一圆环域,内不能积蓄，所以流过圆周,与,的流量为,（其中,是,的单位外法线向量，,是弧微分）所以：,而流量可表示为：,显然它符合“在无穷远处静止状态”要求， 由此可求得复势函数,的导数为,故所求复势函数为：,进一步得到势函数和流函数分别为：,该场的流体情况(图2.4.4)和(图2.4.5)所示(实线表示流线，虚线表示势线）。,例 3 设原点是一个漩涡点，其强度为,时间绕原点流动的液量为 ），,上没有其他的漩涡点，在此情况，流线是以原 点为中心的圆周，等势线是原点发出的射线， 速度向量可表示为：,(在单位,在无穷远处流体保持静止状态，并且平面,而沿圆周,的环量,（其中,的单位向量，,是弧微分）,因而：,所以,仿例2可求得复势为：,故该场得流动情况在,时，如(图2.4.6)所示；,在,时， 如(图2.4.7)所示，,图2.4.6,图2.4.7,2.4.3 平面静电场,取静电场所在得平面为复平面，场强向量为：,我们知道，若在某一区域D内没有电荷（即为管量场），则：,从而知在区域D 内，,是某一二元函数,的全微分，即：,与讨论流体场一样，在曲线,上，场强向量与该曲线相切，因此称此,曲线为力线（即电力线），称此函数,为力函数。,据电学理论知道，平面静电场又是一个势场，那么,即有：,因此在区间D内,也是某一二元函数,的全微分，即,由此得：,是场E的势函数，也可以,称为场的电位或电势，等值线,称为等势线或等位线。,所以,若在某一区域D内，不含有电荷，则力函数,与势函数,满足柯西黎曼条件,当上述四个偏导数连续时，从而可得D内的一个解析函数,(2.4.5),称这个函数位静电场的复势（或电位）， 场E可以用复势表示为,(2.4.6),可见静电场的复势和电流场的复势相 差一个因子,通流体场一样，利用静电场的复势，可 见研究场的等式线和电力线分布情况， 描绘出该场的图形。,，这是电工上的习惯用法，,例 1,周围所形成的电场，用q表示垂直于 L。在此平面上一点,处的场强记为E.求E的表达式。,研究带有电荷的无限长直线L的,据电学中的叠加原理，可将向量E看作是 电荷qdh所产生的强度向量dE的和，将电荷 qdh看作是集中于L上M点处的点电荷，由 库仑定理，高度为h的点电荷qhd的场强向 量dE的大小等于,向量E在复平面上，它的大小等于dE在 复平