2020版高考数学一轮复习第六章数列第四节数列求和讲义（含解析）.docx

第四节数列求和题型一分组转化法求和若数列的通项为分段函数或几个特殊数列通项的和或差的组合等形式，则求和时可用分组转化法，就是对原数列的通项进行分解，分别对每个新的数列进行求和后再相加减典例(2019吉林调研)已知数列an是等比数列，a11，a48，bn是等差数列，b13，b412.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和Sn.解(1)设数列an的公比为q，由a4a1q3得81q3，所以q2，所以an2n1.设bn的公差为d，由b4b13d得1233d，所以d3，所以bn3n.(2)因为数列an的前n项和为2n1，数列bn的前n项和为b1nd3n3n2n，所以Sn2n1n2n.方法技巧分组转化法求和的常见类型提醒某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论针对训练(2018焦作四模)已知an为等差数列，且a23，an前4项的和为16，数列bn满足b14，b488，且数列bnan为等比数列(1)求数列an和bnan的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设an的公差为d，因为a23，an前4项的和为16，所以解得所以an1(n1)22n1.设bnan的公比为q，则b4a4(b1a1)q3，因为b14，b488，所以q327，解得q3，所以bnan(41)3n13n.(2)由(1)得bn3n2n1，所以Sn(332333n)(1352n1)(3n1)n2n2.题型二错位相减法求和如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.典例(2019南昌模拟)已知数列an满足n2n.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和Sn.解(1)n2n，当n2时，(n1)2n1，两式相减得2n(n2)，ann2n1(n2)又当n1时，11，a14，满足ann2n1.ann2n1.(2)bnn(2)n，Sn1(2)12(2)23(2)3n(2)n.2Sn1(2)22(2)33(2)4(n1)(2)nn(2)n1，两式相减得3Sn(2)(2)2(2)3(2)4(2)nn(2)n1n(2)n1n(2)n1，Sn.方法技巧错位相减法求和的策略(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解针对训练1数列，的前10项之和为_解析：因为S10，所以S10. 得S10，所以S10.答案：2(2019临川一中质检)已知等差数列an满足a35，其前6项和为36，等比数列bn的前n项和Sn2(nN*)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解：(1)设等差数列an的公差为d，由已知得解得所以an2n1(nN*)对于数列bn，因为Sn2，所以当n1时，b1S1211，当n2时，bnSnSn1，综上所述，bn(nN*)(2)由(1)得anbn，所以Tn1，Tn， 得，Tn113，所以Tn66.题型三裂项相消法求和如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和.典例(2019湖南十三校联考)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2ann.(1)证明：数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由a1S12a11，得a11，由n2时，anSnSn1(2ann)(2an1n1)，即an2an11，所以an12(an11)(n2)，又a112，所以数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an12n，an2n1.(2)由(1)知，bn，则Tn1.方法技巧1用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项2几种常见的裂项方式数列(n为正整数)裂项方式 (k为非零常数) (a0，a1)logaloga(n1)logan针对训练1(2019成都检测)在递减的等差数列an中，a1a3a4.若a113，则数列的前n项和的最大值为()A.BC. D解析：选D设等差数列an的公差为d，则d0(nN*)，S6a6是S4a4，S5a5的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)设bnloga2n1，数列的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)因为S6a6是S4a4，S5a5的等差中项，所以2(S6a