2020版高考数学第五章平面向量的数量积及其应用（第1课时）系统知识——平面向量的数量积讲义.docx

第三节平面向量的数量积及其应用第1课时系统知识平面向量的数量积平面向量的数量积1.向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角(2)范围：设是向量a与b的夹角，则0180.(3)共线与垂直：若0，则a与b同向；若180，则a与b反向；若90，则a与b垂直2平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b| cos 的乘积提醒(1)数量积ab也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos 的乘积，这两个投影是不同的(2)a在b方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于角的范围3向量数量积的性质设a，b是两个非零向量，e是单位向量，是a与e的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：(1)eaae|a|e|cos |a|cos .(2)abab0.(3)a，b同向ab|a|b|；a，b反向ab|a|b|.特别地aa|a|2a2或|a|.(4)若为a，b的夹角，则cos .(5)|ab|a|b|.(ab)2|ab|2|a|22ab|b|2a22abb2；a2b2(ab)(ab)以上结论可作为公式使用 4平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)提醒对于实数a，b，c有(ab)ca(bc)，但对于向量a，b，c而言，(ab)ca(bc)不一定成立，即不满足向量结合律这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(ab)ca(bc)不一定成立1.已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_答案：22.已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|，则向量a和向量b的数量积ab_.解析：ab|a|b|cos 3023.答案：33.在等腰ABC中，ABAC2，ABC30，D为BC的中点，则在方向上的投影为_答案：4.如图，在RtABC中，A90，AB1，则的值是_答案：15已知向量a，b满足|a|b|2且ab2，则向量a与b的夹角为_答案：6已知矩形ABCD中，AB，BC1，则_.解析：设a，b，则ab0，|a|，|b|1，(ab)(b)abb21.答案：1平面向量数量积的坐标表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|1.已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k_.答案：122.向量a(3,4)在向量b(1，1)方向上的投影为_解析：a在b上的投影为.答案：3.a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于_解析：设b(x，y)，则2ab(8x,6y)(3,18)，所以解得故b(5,12)，所以cosa，b.答案：4.已知向量a(2,7)，b(x，3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为_解析：由ab2x210，得x，当a与b共线时，则x，故x的取值范围为x且x.答案：5向量a(1,2)，b(1,1)，若kab与b互相垂直，则实数k的值为_解析：kab(k1,2k1)，b(1,1)，(kab)b(k1)(1)2k1k20，k2.答案：26设向量a(1,0)