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文档简介
3.1.1变化率问题,创设情景,为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数。随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立与自然科学中四 类问题的处理直接相关:,1、已知物体的运动路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;,2、求曲线的切线;,3、求已知函数的最大值、最小值;,4、求长度、面积、体积和重心等。,问题1:气球膨胀率,很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程。,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加的越来越慢。,从数学的角度,如何描述这种现象呢?,发现:,新课讲授,当空气容量从L增加到时,气球半径增加了,r(1)r(0) 0.62 (dm),气球的平均膨胀率为:,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是:,当空气容量从L增加到时,气球半径增加了,r()r() 0.(dm),气球的平均膨胀率为:,可以看出:,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小。,思考?,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,问题2:高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)= - 4.9 t2+ 6.5t +10.,如果我们用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态,那么:,(1)在 这段时间里,,(2)在 这段时间里,,探究?,计算:运动员在 这段时间内的平均速度,并思考下面的问题:,(1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态, 需要用瞬时速度描述运动状态。,气球的平均膨胀率是一个特殊的情况,我们把这一思路延伸到函数上,归纳一下得出函数的平均变化率,从以上的二个例子中,我们可以了解到,平均变化率是指在某个区间内数值的平均变化量.,如果上述两个问题中的函数关系用 表示,那么问题中的变化率可用式子: 表示。,平均变化率:,“增量”:,令“增量”,于是:平均变化
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