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1,3.3 泰勒（Taylor）级数展开,通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数.现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.,实变函数可展为泰勒级数的条件是存在任意阶导数；而解析函数的性质之一正是存在任意阶导数，因此解析函数可展为复变项的泰勒级数。,2,设 在以z0为圆心的圆域CR内解析，则对于圆内任意z点， 可展开为幂级数,一、定理（泰勒定理）：,3,证明：,由柯西公式,将 展为幂级数,又,4,代入上式逐项积分,的每一项都是z的解析函数，且在其收敛圆内任一同心闭圆上一致收敛。,5,讨论：,1、收敛范围： 对给定 z0 点，找 f(z) 最靠近 z0 的奇点 z1 ，一般 即为收敛半径。,2、解析函数的又一充要条件： f(z)在 区域B内解析，当且仅当 f(z) 在B 内任一点的某邻域内可展开成幂级数。,3、展开系数的唯一性。,6,二、将函数展开成泰勒级数的方法,7,初等函数幂级数展开式举例：,8,例2：cosz，sinz在z=0处,奇次幂全消去,9,同理,10,11,12,解： 是多值函数，如理解为定义在黎曼面上，则可看成单值解析函数。,支点为：,13,而,14,15,解：,16,将两式按对角线相乘，得,17,例6：,18,19,3.4 解析延拓,以几何级数为例：,对于 ，在 的圆域b内,等效于解析函数 ， 在 的区域， 发散， 除 外，全平面解析（解析区域B) 与 在b上等同，但B含有b 。,20,解析延拓的唯一性：(用不同方法延拓结果一样）,在b 上解析，设用两种方法延拓到B上，得函数
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