《微积分教案》PPT课件.ppt

8.7二重积分,一、二重积分的概念与性质 二、二重积分的计算 三、积分区域无界的广义二重积分*,1,曲顶柱体,引例1：曲顶柱体的体积,2,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,“分割,求和,取极限”思想的应用,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,3,播放,求曲顶柱体体积的具体步骤,4,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,平面薄片的质量,引例2：平面薄片的质量,5,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,二重积分的概念,定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数,将闭区域D任意分成n个小闭区域 1, 2,n ,其中i表示第i个小区域,也表示它的面积;在每个i上任取一点(i,i) ,作乘积 f(i,i)i (i=1,2,n),并作和,6,;如果当各小闭区域的直径中的最大值,趋于零时,这和的极限存在,则称此极限为函数在闭,区域上的二重积分， 记作,叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做面积元素,与,叫做积分变量，,叫做积分区域，,叫做积分和。,关于二重积分定义的说明,(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的. (2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. (3)在直角坐标系中,若用平行于坐标轴的直线网划分,则,7,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负值,一般,D上的二重积分等于部分区域上的柱体体积,的代数和。,二重积分的性质(15),性质1,8,（k为常数）,性质2,性质3,性质4 若为D的面积,则,性质5 若在D上,则有,特别地:,二重积分的性质(67),性质6(估值不等式) 设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则,9,性质7(二重积分中值定理) 设函数f(x,y)在闭区域D上连续,则在D上至少存在一点(,),使得,例题与讲解,例：不做计算,估计,10,其中D是椭圆闭区域,解,直角坐标下计算二重积分,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法，可以在直角坐标下计算二重积分。 X-型积分区域D：,11,X型,其中函数 、 在区间 上连续.,X-型积分区域上计算二重积分,将二重积分的值看作以D为底,以z=f(x,y)为曲面的“曲顶柱体”体积。,12,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,垂直x轴作平行截面。,得,Y-型积分区域上计算二重积分,Y-型积分区域D：,13,Y型,垂直y轴作平行截面,其它类型的积分区域,X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图，则必须分割.,14,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,例题与讲解,例：改变积分,15,的次序,解：,积分区域如图,例题与讲解,例：改变积分,16,的次序,解：,积分区域如图,例题与讲解,例：改变积分,17,的次序,解：,原式,例题与讲解,例：求积分,18,其中D是由抛物线,y=x2和x=y2围成的闭区域。,解：,例题与讲解,例：求积分,19,其中D是以(0,0)、,(1,1)、 (0,1)为顶点的三角形区域。,解：,例题与讲解,例：计算积分,20,解：,例题与讲解,例：求由下列曲面所围成的立体体积,21,解,曲面围成的立体如图：,一个三角形.,利用极坐标计算二重积分,22,极坐标下化二次积分(),若积分区域特征如下图,23,例题与讲解,例：写出积分,24,在极坐标下二次积分形式,其中积分区域,解,极坐标下化二次积分(2),若积分区域特征如下图,25,极坐标下化二次积分(3),若积分区域特征如下图,26,极坐标系下区域的面积,例题与讲解,例：计算,27,其中D 是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域。,解,例题与讲解(泊松积分),例：求广义积分,28,解,由上例结论以及对称性知,例题与讲解,例：计算,29,其中 D为由圆,及直线,所围成,的平面闭区域。,解,例题与讲解,例：计算,30,其中积分区域为,解,小结,二重积分在直角坐标下的计算公式,31,（在积分中要正确选择积分次序）,Y型,X型,二重积分在极坐标下的计算公式,练习(1),32,练习(2),33,练习(3),34,练习解答,35,练习解答,36,练习解答,37,练习解答,38,练习解答,39,练习解答,40,练习解答,41,练习解答,42,如图所示,练习解答,43,如图所示,练习解答,44,练习解答,45,练习解答,46,练习解答,47,练习解答,48,求“曲顶柱体”体积的演示(1),求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,49,求“曲顶柱体”体积的演示(2),求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,50,求“曲顶柱体”体积的演示(3),求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,51,求“曲顶柱体”体积的演示(4),求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，