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,第四节,基本积分法 : 直接积分法 ;,换元积分法 ;,分部积分法,初等函数,初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第四章,一、 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 用赋值法,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 混合法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式 =,四种典型部分分式的积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变分子为,再分项积分,例2. 求,解: 已知,例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解: 原式,思考: 如何求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,变形方法同例3,并利用 P209 例9 .,例4. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例5. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常规 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求,解: 原式,(见P348公式21),注意本题技巧,按常规方法较繁,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,此解法较繁 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二. 简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,例11. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12. 求,解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,则有,原式,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,简单无理函数,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,机动 目录 上页 下页 返回 结
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