2019高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程（第1课时）直线的点斜式方程讲义（含解析）.docx

第1课时直线的点斜式方程核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P92P94，回答下列问题：(1)观察教材图3.21，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，怎样建立x，y之间的关系？提示：由斜率公式得k，即yy0k(xx0)(2)已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？提示：将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：ykxb.2归纳总结，核心必记(1)直线的点斜式方程定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程yy0k(xx0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90的直线没有点斜式，其方程为xx00，或xx0.(2)直线的斜截式方程定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程ykxb叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距倾斜角是直角的直线没有斜截式方程问题思考(1)平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程吗？提示：平面直角坐标系下，并不是所有的直线都存在点斜式方程当直线与x轴垂直时(没有斜率)，不能用点斜式方程来表示(2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？提示：不是，距离和截距是两个不同的概念，距离非负，而截距是一个数值，可正、可负、可为零课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)直线的点斜式方程是什么？怎样求？；(2)直线的斜截式方程是什么？怎样求？.斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线思考1已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？提示：不确定从一点可引出多条斜拉索思考2若某条斜拉索过点B(0，b)，斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P(x，y)满足什么条件？该直线的方程是什么？提示：满足k.方程为ykxb.思考3怎样理解直线方程的点斜式？名师指津：关于点斜式的几点说明(1)直线的点斜式方程的前提条件是：已知一点P(x0，y0)和斜率k；斜率必须存在只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程(2)方程yy0k(xx0)与方程k不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线(3)当k取任意实数时，方程yy0k(xx0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线(4)如果直线l过点P0(x0，y0)且平行于x轴(或与x轴重合)，这时倾斜角为0，tan 00，即k0，由点斜式得yy0，如图甲所示如果直线过点P0(x0，y0)且与x轴垂直，此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为xx0，如图乙所示讲一讲1求满足下列条件的直线的点斜式方程(1)过点P(4,3)，斜率k3；(2)过点P(3，4)，且与x轴平行；(3)过P(2,3)，Q(5，4)两点尝试解答(1)直线过点P(4,3)，斜率k3，由直线方程的点斜式得直线方程为y33(x4)(2)与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)0(x3)，即y40.(3)过点P(2,3)，Q(5，4)的直线的斜率kPQ1.又直线过点P(2,3)，直线的点斜式方程为y3(x2)求直线的点斜式方程的方法步骤(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率k写出方程yy0k(xx0)(2)点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但xx0除外练一练1(1)过点(1,2)，且倾斜角为135的直线方程为_(2)(2016常德高一检测)已知直线l过点A(2,1)且与直线y14x3垂直，则直线l的方程为_解析：(1)ktan 1351，由直线的点斜式方程得y2(x1)，即xy10.(2)方程y14x3可化为y14，由点斜式方程知其斜率k4.又因为l与直线y14x3垂直，所以直线l的斜率为.又因为l过点A(2,1)，所以直线l的方程为y1(x2)，即x4y60.答案：(1)xy10(2)x4y60思考怎样理解直线的斜截式方程？名师指津：斜截式方程和截距的几点说明：(1)方程ykxb的特点左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义： k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距(2)直线方程的斜截式是由点斜式推导而来的直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为此直线的纵截距，值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能为0，不能将其理解为“距离”就恒为正同理，直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x1没有纵截距，直线y2没有横截距(3)直线方程的斜截式ykxb，当k0时就是一次函数的标准形式(4)由直线方程的斜截式反过来可得到直线的斜率和纵截距，如直线y2x1的斜率为k2，纵截距为1.讲一讲2根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.尝试解答(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y2x5.(2)倾斜角150，斜率ktan 150，由斜截式可得方程为yx2.(3)直线的倾斜角为60，其斜率ktan 60，直线与y轴的交点到原点的距离为3，直线在y轴上的截距b3或b3.所求直线方程为yx3或yx3.直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别(2)直线的斜截式方程ykxb不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断练一练2写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点(1,1)?解：由直线方程的斜截式，得直线方程为y2xm.直线过点(1,1)，将x1，y1代入方程y2xm,121m，m1即为所求讲一讲3(1)当a为何值时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直？(链接教材P94例2)思路点拨利用l1l2k1k2且b1b2; l1l2k1k21求解尝试解答(1)由题意可知： kl11，kl2a22.l1l2，解得a1.故当a1时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行(2)由题意可知，kl12a1，kl24，l1l2，4(2a1)1，解得a.故当a时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直(1)两条直线平行和垂直的判定：已知直线l1：yk1xb1与直线l2：yk2xb2，若l1l2，则k1k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1b2；反之k1k2，且b1b2时，l1l2.所以有l1l2k1k2，且b1b2.若l1l2，则k1k21；反之k1k21时，l1l2.所以有l1l2k1k21.(2)若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1b2这个条件练一练3判断下列两条直线平行还是垂直(1)l1：y23(x1)，l2：y3x；(2)l1：y6x1，l2：yx1；(3)l1：x30，l2：x20.解：(1)直线l1的方程化为y3x5，则直线l1的斜率k13，直线l1在y轴上的截距b15，直线l2的方程为y3x，则直线l2的斜率k23，直线l2在y轴上的截距b20，于是k1k2，b1b2，故l1l2.(2)直线l1的斜截式方程为y6x1，则直线l1的斜率k16，直线l2的斜截式方程为yx1，则直线l2的斜率k2，于是k1k261，故l1l2.(3)l1是过(3,0)且垂直于x轴的直线，l2是过(2,0)且垂直于x轴的直线，故l1l2.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是了解直线方程的点斜式的推导过程，掌握直线方程的点斜式并会应用，掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念难点是了解直线方程的点斜式的推导过程2本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程的方法步骤，见讲1.(2)求斜截式方程的求解策略，见讲2.(3)两条直线平行与垂直的判定方法，见讲3.3本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况，如讲3.课下能力提升(十七)学业水平达标练题组1直线的点斜式方程1已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1,2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为1解析：选C方程变形为y2(x1)，直线过点(1，2)，斜率为1.2(2016汕头高一检测)直线y2(x1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A60，2 B120，2C60，2 D120，2解析：选B该直线的斜率为，当x0时，y2，其倾斜角为120，在y轴上的截距为2.3已知直线l的倾斜角是直线yx1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为_解析：直线yx1的斜率为1，所以倾斜角为45，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90，其斜率不存在又直线过定点P(3,3)，所以直线l的方程为x3.答案：x34直线l1过点P(1,2)，斜率为，把l1绕点P按顺时针方向旋转30角得直线l2，求直线l1和l2的方程解：直线l1的方程是y2(x1)，即x3y60.k1tan 1，1150.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30，得到直线l2的倾斜角为215030120，k2tan 120，l2的方程为y2(x1)，即xy20.题组2直线的斜截式方程5直线yax的图象可能是()解析：选B由yax可知，斜率和截距必须异号，故B正确6在y轴上的截距为2，且与直线y3x4平行的直线的斜截式方程为_解析：直线y3x4的斜率为3，所求直线与此直线平行，斜率为3.又截距为2，由斜截式方程可得y3x2.答案：y3x27直线ykx2(kR)不过第三象限，则斜率k的取值范围是_解析：当k0时，直线y2不过第三象限；当k0时，直线过第三象限；当kk2，b1b2，不合题意；在选项D中，k1k2，故D错4若AC0，BC0，则直线AxByC0不通过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C将AxByC0化为斜截式为yx，AC0，BC0，AB0，k0，b0.故直线不通过第三象限，选C.5过点(4，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为_解析：依题意设l的方程为y3k(x4)令x0，得y4k3；令y0，得x.因此4k3.解得k1或k.故所求方程为yx1或yx.答案：yx1或yx6(2016合肥高一检测)直线yax3a2(aR)必过定点_解析：将直线方程变形为y2a(x3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)答案：(3,2)7求倾斜角是直线yx1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程(1)经过点(，1)；(