2017_2018学年高中数学专题3.生活中的优化问题举例课时同步试题新人教A版选修1_.doc

3.4 生活中的优化问题举例一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为，那么速度为零的时刻是A0秒B1秒末C2秒末D1秒末和2秒末【答案】D2现做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为AcmB100cmC20cmDcm【答案】A【解析】设高为xcm，则底面半径为cm，所以圆锥形漏斗的体积，令，得或（舍去），则当cm时，体积最大故选A3某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为，高为3m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为A900元B840元C818元D816元【答案】D【解析】设箱底一边的长度为m，箱子的总造价为元，根据题意，得，令，解得或(舍去)当时，；当时，；故当时，取得最小值，为816因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元故选D二、填空题：请将答案填在题中横线上4已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为_【答案】和5已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_万件【答案】9【解析】由，得，由，得（舍去），当时，函数为增函数；当时，函数为减函数，所以当时，函数有极大值，也就是最大值，为（万元）故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤6为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（1）求的值及的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值【答案】（1），；（2）隔热层5cm厚时，总费用最小为70万元（2），令，解得或（舍去）当时，；当时，故是的最小值点，对应的最小值是故当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元7请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)（1）某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值【答案】（1）；（2）当时取得最大值，包装盒的高与底面边长的比值为（2），由，得(舍去)或当时，；当时，所以当时，取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为8如图1，过动点A作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示）则当的长为多少时，三棱锥的体积最大？图1图2【答案】当时，三棱锥的体积最大【解析】在如题图1所示的中，设，则由， 知，为等腰直角三角形，所以由折起前知，折起后（如题图2），且，所以平面因为，所以于是令，由，且，解得当时，；当时，所以当时，取得最大值故当时，三棱锥的体积最大9某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（）千元设该容器的建造费用为y千元（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r【答案】（1）；（2）（2）由（1）得，因为，所以，当时，令，则所以当，即时，令，解得当时，函数单调递减；当时，函数单调递增所以是函数的极小值点，也是最小值点当，即时，当时，函数单调递减，所以是函数的最小值点综上所述，当时，该容器的建造费用最小时；当时，该容器的建造费用最小时10某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）（1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大【答案】（1），；（2）见解析（2）因为V(r)(300r4r3)（），所以令V(r)0，解得r15，r2（因为r2不在定义域内，舍去）