2018年高考数学二轮复习数学思想领航二数形结合思想专题突破讲义文.doc

二、数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合方法一函数图象数形沟通法模型解法函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法破解此类题的关键点：分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论典例1设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f(x)是f(x)的导函数当x0，时，0f(x)1；当x(0，)且x时，f(x)0.则函数yf(x)sin x在3，3上的零点个数为()A4 B5C6 D8解析当x0，时，0f(x)1，f(x)是最小正周期为2的偶函数，当x3，3时，0f(x)1.当x(0，)且x时，f(x)0，当x时，f(x)为单调减函数；当x时，f(x)为单调增函数，当x0，时，0f(x)1，定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，在同一坐标系中作出ysin x和yf(x)的草图如图，由图知yf(x)sin x在3，3上的零点个数为6，故选C.答案C思维升华由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系跟踪演练1已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x1)，当x1,0时，f(x)x3，则关于x的方程f(x)|cos x|在上的所有实数解之和为()A7 B6C3 D1答案A解析因为函数f(x)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以函数f(x)的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数yf(x)与y|cos x|的图象，由图知关于x的方程f(x)|cos x|在上的实数解有7个不妨设7个解中x1x2x3x4x5x6x7，则由图得x1x24，x3x52，x41，x6x70，所以方程f(x)|cos x|在上的所有实数解的和为42107，故选A.方法二几何意义数形沟通法模型解法几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题破解此类题的关键点：分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论典例2如果实数x，y满足(x2)2y23，则的最大值为()A. B. C. D.解析方程(x2)2y23的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M(2,0)，半径为r(如图)，而则表示圆M上的点A(x，y)与坐标原点O(0，0)的连线的斜率所以该问题可转化为动点A在以M(2,0)为圆心，以为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值由图可知当OAM在第一象限，且直线OA与圆M相切时，OA的斜率最大，此时OM2，AM，OAAM，则OA1，tanAOM，故的最大值为，故选D.答案D思维升华解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有(1)比值可考虑直线的斜率(2)二元一次式可考虑直线的截距(3)根式分式可考虑点到直线的距离(4)根式可考虑两点间的距离跟踪演练2设点P(x，y)满足：则的取值范围是()A. B.C. D1,1答案B解析作出不等式组所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A(2,1)，B(1,2)，令t，f(t)t，根据t的几何意义可知，t为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA，OB，显然OA的斜率最小，OB的斜率2最大，即t2.由于函数f(t)t在上单调递增，故f(t)，即的取值范围是.方法三圆锥曲线数形沟通法模型解法圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题破解此类题的关键点：画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论典例3已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A. B.C(1,2) D(1，2)解析点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F，过点P作准线的垂线，垂足为S，则|PF|PQ|PS|PQ|，故当S，P，Q三点共线时取得最小值，此时P，Q的纵坐标都是1，设点P的横坐标为x0，代入y24x得x0，故点P的坐标为，故选A.答案A思维升华破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论跟踪演练3已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_答案解析因为(2)284，所以点A(2,4)在抛物线x28y的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知，APF的周长为|PF|P