2019版高考数学复习第七章立体几何第40讲空间点直线平面之间的位置关系学案.docx

第40讲空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求考情分析命题趋势理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理.2017全国卷，102017全国卷，162016浙江卷，2空间点、线、面的位置关系以位置关系的判断为主要考查点，同时也考查逻辑推理能力和空间想象能力.分值：5分1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的_两点_在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理2：过_不在一条直线上_的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有_一个_公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条_相交_直线有且只有一个平面；推论3：经过两条_平行_直线有且只有一个平面2空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的_锐角(或直角)_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：_.(3)平行公理：平行于_同一条直线_的两条直线互相平行(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_相等或互补_.3直线与平面、平面与平面之间的位置关系(1)直线与平面的位置关系有_相交_、_平行_、_在平面内_三种情况(2)平面与平面的位置关系有_平行_、_相交_两种情况1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，并记作A()(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC()(4)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线()(5)没有公共点的两条直线是异面直线()解析 (1)错误当两个平面平行时，把空间分成三部分(2)错误由公理3知应交于过点A的一条直线(3)错误应相交于直线BC，而非线段(4)正确因为若cb，则由已知可得ab，这与已知矛盾(5)错误异面或平行2若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c(D)A一定平行B一定相交C一定是异面直线D一定垂直解析 因为bc，ab，所以ac，即a与c垂直3下列命题正确的个数为(C)经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面A0B1C2D3解析 错误，正确4已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(D)A相交或平行B相交或异面C平行或异面D相交、平行或异面解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB ，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为_60_.解析 连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.一平面的基本性质及应用用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点【例1】 以下四个命题中，正确命题的个数是(B)不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0B1C2D3解析 显然是正确的，可用反证法证明；中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故只有正确，故选B【例2】 已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CGBC，CHDC求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)直线FH，EG，AC共点解析 (1)连接EF，GH，E，F分别是AB，AD的中点，EFBD又CGBC，CHDC，GHBD，EFGH，E，F，G，H四点共面(2)由(1)知FH与直线AC不平行，但共面，设FHACM，M平面EFHG，M平面ABC又平面EFHG平面ABCEG，MEG.FH，EG，AC共点二空间两条直线的位置关系判断空间两条直线的位置关系的方法(1)异面直线，可采用直接法或反证法(2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理(3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决【例3】 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解析 (1)不是异面直线理由如下：连接MN，A1C1，ACM，N分别是A1B1，B1C1的中点，MNA1C1.又A1AC1C，A1ACC1为平行四边形A1C1AC，MNAC，A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下：ABCDA1B1C1D1是正方体，B，C，C1，D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1，B，C，C1矛盾假设不成立，即D1B与CC1是异面直线三两条异面直线所成的角两异面直线所成角的作法及求解步骤(1)找异面直线所成的角的三种方法：利用图中已有的平行线平移利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移补形平移(2)求异面直线所成的角的三个步骤：作：通过作平行线，得到相交直线证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角算：通过解三角形，求出该角【例4】 (2017全国卷)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)解析 由题意，AB是AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又ACa，ACb，AC圆锥底面，在底面内可以过点B，作BDa，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DEBD，DEb，连接AD，设BC1，在等腰ABD中，ABAD，当直线AB与a成60角时，ABD60，故BD，又在RtBDE中，BE2，DE，过点B作BFDE，交圆C于点F，连接AF，EF，BFDE，ABF为等边三角形，ABF60，即AB与b成60角，故正确，错误由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面ABC直线a，直线AB与a所成角的最大值为90，错误正确的说法为.1下列命题中正确的个数是(A)过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；异面直线a，b在平面内的射影相互垂直，则ab；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；直线a，b分别在平面，内，且ab，则.A0B1C2D3解析 对于，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故错误；对于，在如图1所示的三棱锥PABC中，PB面ABC，BABC，满足PA，PC两边在底面的射影相互垂直，但PA与PC不垂直，故错误；对于，在如图2所示的三棱锥PABC中，ABBCACPA2，PBPC3，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥PABC不是正三棱锥，故错误；对于，直线a，b分别在平面，内，且ab，则，可以平行，故错误所以正确命题的个数为0，选A2两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是(C)A两条相交直线B两条平行直线C两个点D一条直线和直线外一点解析 如图，在正方体ABCDEFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点，故选C3(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(C)ABCD解析 如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1BC1，所以B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以AB1，AD1.在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以B1D1，所以cos B1AD1，故选C4如图，在直二面角EABC中，四边形ABEF是矩形，AB2，AF2，ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF3.(1)证明：FB平面PAC；(2)求异面直线PC与AB所成的角的余弦值解析 (1)证明：易得FB4，cos PFAcos BFA，在PAF中，由余弦定理得PA.PA2PF23912AF2，PABF.平面ABEF平面ABC，平面ABEF平面ABCAB，ABAC，AC平面ABEF.BF平面ABEF，ACBF.PAACA，BF平面PAC(2)过P作PMAB，PNAF，分别交BE，BA于M，N，MPC或其补角为PC与AB所成的角连接MC，NC易得PNMB，AN，NC，BC2，PC，MC，cos MPC.异面直线PC与AB所成的角的余弦值为.易错点忽视位置关系错因分析：考虑问题不全面，忽略元素存在的多种可能性，导致丢解【例1】 设平面，满足，A，C，B，D，直线AB与CD交于S，若SA18，SB9，CD34，求SC的长度解析 设相交直线AB，CD确定的平面，则AC，BD，由，得ACBD当S点在两平面的同侧时，如图1，因为ACBD，所以，即，所以SC68.当S点在两平面之间时，如图2，因为ACBD，所以，即，解得SC.综上知SC68或SC.【跟踪训练1】 若一直线上有相异三个点A，B，C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是(D)AlBlCl与相交且不垂直Dl或l解析 由于l上有三个相异点到平面的距离相等，则l与可以平行，l时也成立课时达标第40讲解密考纲考查点、线、面的位罝关系常以选择题或填空题的形式出现一、选择题1设a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则“la，lb”是“l”的(C)A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析 直线a，b平行时，由“la，lb”/“l”；“l”“la，lb”，所以“la，lb”是“l”的必要不充分条件2如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(A)AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面解析 连接A1C1，AC，则A1C1AC，A1，C1，C，A四点共面A1C平面ACC1A1.MA1C，M平面ACC1A1.又M平面AB1D1，M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点同理O，A为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点A，M，O三点共线3正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(A)A相交B异面C平行D垂直解析 如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交4已知空间中有三条线段AB，BC和 CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是(D)AABCDBAB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交解析 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线5.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BCCACC11，则 BD1与AF1所成角的余弦值为(A)ABCD解析 取BC的中点E，连接EF1，EA，则可知EF1A为BD1与AF1所成的角，在AEF1中，可求得F1E，AF1，AE，由余弦定理得，cosEF1A，故选A6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上，且AMAB1，BNBC1.给出下列结论：AA1MN；A1C1MN；MN平面A1B1C1D1；B1D1MN.其中正确结论的个数是(B)A1B2C3D4解析 在BB1上取一点P，使BPBB1，连接PN，PM.点M，N分别在AB1，BC1上，且AMAB1，BNBC1，PNB1C1，PMA1B1.又PNPMP，B1C1A1B1B1，平面PMN平面A1B1C1D1.MN平面PMN，MN平面A1B1C1D1.又AA1平面PMN，AA1MN.故正确分别作MM1BB1，NN1CC1，交A1B1，B1C1于点M1，N1，连接M1N1，则M1N1不平行于A1C1，MN与A1C1不平行又A1C1B1D1，B1D1与MN不垂直，故不正确正确结论的个数是2，故选B二、填空题7下列如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_.解析 在图中，可证Q点所在棱与平面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面可证中四边形PQRS为梯形；中可证四边形PQRS为平行四边形；中如图所示，取A1A与BC的中点为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形8四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有_6_对解析 由题意可得PABC，PACD，ABPD，BDPA，BDPC，ADPB，即互相垂直的异面直线共有6对9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线MN与AC所成的角为60.其中正确的结论为_(填所有正确结论的序号)解析 AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线因为D1CMN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，为60.三、解答题10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，