2018版高中数学 圆与方程4.34.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式学案新人教A版.docx

4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式目标定位1.了解空间直角坐标系的概念，理解三维空间的点可以用三个量来表示.2.通过所有棱分别与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.3.会用空间两点间的距离公式，求两点间的距离，比较线段的长度.自 主 预 习1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.2.空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z).其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.3.空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|.(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|.4.空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标是.即 时 自 测1.判断题(1)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，0).()(2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上点的坐标一定可写成(0，b，c).()(3)在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记为(0，0，c).()(4)在空间直角坐标系中点P(a，b，c)，关于坐标原点的对称点为P(a，b，c).()提示(1)由定义可知，在Ox轴上的点(x，y，z)，有yz0，所以点的坐标可记为(a，0，0).2.点(2，0，3)在空间直角坐标系中的()A.y轴上 B.xOy平面上C.xOz平面上 D.第一象限内解析点(2，0，3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上.答案C3.点A在z轴上，它到点(2，1)的距离是，则A点的坐标是()A.(0，0，1) B.(0，1，1) C.(0，0，1) D.(0，0，13)解析设A(0，0，c)，则，解得c1，所以点A的坐标为(0，0，1).答案C4.点P(3，2，1)关于平面xOy的对称点是_，关于平面yOz的对称点是_，关于x轴的对称点是_，关于y轴的对称点是_.答案(3，2，1)(3，2，1)(3，2，1)(3，2，1)类型一求空间中点的坐标【例1】 建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标.解以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，AO2，从而可知各顶点的坐标分别为A(，0，0)，B(0，1，0)，C(0，1，0)，A1(，0，3)，B1(0，1，3)，C1(0，1，3).规律方法(1)题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.【训练1】 画一个正方体ABCDA1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标；(2)求棱C1C中点的坐标；(3)求面AA1B1B对角线交点的坐标.解建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.(1)各顶点坐标分别是A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1).(2)棱CC1的中点为M.(3)面AA1B1B对角线交点为N.类型二求空间中对称点的坐标【例2】 在空间直角坐标系中，点P(2，1，4).(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标.解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(2，1，4).(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(2，1，4).(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12).规律方法任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(x，y，z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，y，z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(x，y，z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(x，y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，z)；关于yOz平面对称的点是P6(x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，y，z).求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.【训练2】 求点A(1，2，1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标.解如图所示，过点A作AM坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AMCM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1，2，1).过点A作ANx轴于点N并延长到点B，使ANNB，则点A与B关于x轴对称且点B(1，2，1).点A(1，2，1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1，2，1)；点A(1，2，1)关于x轴对称的点为B(1，2，1).(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出)类型三空间中两点间的距离(互动探究)【例3】 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|AD|3，|AA1|2，点M在A1C1上，|MC1|2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离.思路探究探究点一解决空间中的距离问题基本思路是什么？提示求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键.探究点二空间的中点坐标公式是什么？提示设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点为P.解如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，|DD1|CC1|AA1|2，C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，N为CD1的中点，N.M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，M(1，1，2).由两点间距离公式，得|MN|.规律方法求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标.确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定.【训练3】 已知ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5).(1)求ABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度.解(1)由空间两点间距离公式得|AB|3，|BC|，|AC|，ABC中最短边是BC，其长度为.(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为.AC边上中线的长度为.课堂小结1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力.2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.3.在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想.1.在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，4，5)两点的位置关系是()A.关于x轴对称 B.关于xOy平面对称C.关于坐标原点对称 D.以上都不对解析点P(3，4，5)与Q(3，4，5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称.答案A2.已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|2，则实数x的值是()A.3或4 B.6或2C.3或4 D.6或2解析由题意得2解得x2或x6.答案D3.已知A(3，2，4)，B(5，2，2)，则线段AB中点的坐标为_.解析设中点坐标为(x0，y0，z0)，则x04，y00，z01，中点坐标为(4，0，1).答案(4，0，1)4.已知两点P(1，0，1)与Q(4，3，1).(1)求P、Q之间的距离；(2)求z轴上的一点M，使|MP|MQ|.解(1)|PQ|.(2)设M(0，0，z)由|MP|MQ|，得1202(z1)24232(z1)2，z6.M(0，0，6).基 础 过 关1.空间两点A，B的坐标分别为(x，y，z)，(x，y，z)，则A，B两点的位置关系是()A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于z轴对称 D.关于原点对称解析由A，B两点的坐标可知关于y轴对称.答案B2.在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为()A.(4，0，6) B.(4，7，6)C.(4，0，6) D.(4，7，0)解析点M关于y轴的对称点是M(4，7，6)，点M在坐标平面xOz上的射影是(4，0，6).答案C3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为()A.a B.aC.a D.a解析由题意得F，A1(a，0，a)，C(0，a，0)，E，则|EF|a.答案B4.在空间直角坐标系中，点A(1，0，1)与点B(2，1，1)间的距离为_.解析|AB|.答案5.已知三角形的三个顶点A(2，1，4)，B(3，2，6)，C(5，0，2).则(1)过A点的中线长为_；(2)过B点的中线长为_；(3)过C点的中线长为_.解析设BC的中点为D，则D(4，1，2)，可得|AD|2；设AC的中点为E，则E，可得|BE|；设AB的中点为F，则F，可得|CE|.答案26.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|4，|AD|3，|AA1|5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标.解(1)显然D(0，0，0)，因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|3，所以A(3，0，0).同理，可得C(0，4，0)，D1(0，0，5).因为点B在坐标平面xOy内，BCCD，BAAD，所以B(3，4，0).同理，可得A1(3，0，5)，C1(0，4，5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|AA1|5，则B1(3，4，5).(2)由(1)知C(0，4，0)，C1(0，4，5)，则C1C的中点N为，即N.7.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.解以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.|C1C|CB|CA|2，C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，|DE|，|EF|.能 力 提 升8.ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是()A. B.2 C. D.3解析BC的中点坐标为M(1，1，0)，又A(0，0，1)，|AM|.答案C9.在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是()A. B. C. D.解析设P(x，y，z)，由题意可知x2y2z2.答案A10.已知点A(1，a，5)，B(2a，7，2)(aR)则|AB|的最小值是_.解析|AB|2(2a1)2(7a)2(25)25a210a595(a1)254.a1时，|AB|2的最小值为54.|AB|min3.答案311.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB4，DEAC，垂足为E，求B1E的长.解如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.则D(0，0，0)，B1(2，4，2)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，设点E的坐标为(x，y，0)，在坐标平面xOy内，直线AC的方程为1，即2xy40，又DEAC，直线DE的方程为x2y0.由得E.|B1E|，即B1E的长为.探 究 创 新12.已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面AB