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第三章 随机变量的数字特征,随机变量的数学期望（2）,第二讲,我们经常要求随机变量函数的数学期望 ， 例如飞机的机翼受到的压力是风速的二次函数 如果知道风速这个随机变量的分布情况，需要 求压力的数学期望，就是求随机变量函数的数 学期望。,2、随机变量函数的数学期望,设 X为随机变量，Y=g(X), g(x) 是连续函数,（1）若离散型随机变量X 的分布律为,则,（2）若连续型随机变量X 的概率密度为 f(x),则,例1 设随机变量 X 的分布律为,求E(X)及E(X2),解：,例2 设风速V在(0,a)上服从均匀分布，即密度函数,又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数W=kV2, 求W 的数学期望。,解：,例3 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确 定该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利 m元,而积压一件产品导致n元的损失。再者，他 们预测销售量Y (件) 服从指数分布，概率密度为,问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少 件产品？(m , n , 均为已知),解：设生产 x 件，则获利 Q 是 x 的函数,Q是随机变量，且是 Y 的函数，数学期望为,m=500元， n=2000元，则,故取产量x=2231件，可使得利润的数学期望 取得最大值。,3、数学期望的性质,(1) 设C为常数，则E(C)=C,(2) 设X是一随机变量，C为常数，则有,E(CX)=CE(X),(3) 设X、Y是两个随机变量，则有,E(X + Y)=E(X) + E(Y),可推广为,(4) 设X、Y是两个相互独立随机变量，则有,E(XY)=E(X)E(Y),例4 一空港巴士载有20位旅客自机场开出，沿途 有10个车站可以下客。如到达一个车站没有旅客 下车就不停车，以 X 表示停车的次数，求X 的数 学期望（假设每位旅客在各个车站下车是等可能 的，且各位旅客是否下车相互独立）。,解：引入随机变量,任一旅客在第i站下车的概率为1/10，在第i站不 下车的概率为9/10。因此，第i 站没人下车的概 率为,第i 站有人下车的概率为,即该空港巴士在到达目的地的途中平均停车 8.784次。,例5 求二项分布随机变量 X b( n , p ) 的数学期望,解：,二项分布的分布律为,小 结:,1、离散型随机变量函数 g (X)的数学期望,2、连续型随机变量函数 g (X) 的数学期望,3、数学期望的性质,E (a X + b)=a E (X) + b
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