高等数学1-5极限的运算法则.ppt

1,无穷小的性质,极限的四则运算法则,极限运算法则,复合函数的极限运算法则,2,证明,设及是当xx0时的两个无穷小,则 0,10,当0|xx0|1 时 有| ,20,当0|xx0|2 时 有| ,取 min1 2,则当0|xx0|时 有,这说明 也是当xx0时的无穷小,|2 ,定理1 有限个无穷小的和也是无穷小,无穷小的性质,仅就两个xx0时的无穷小情形证明,举例:,当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是当x0时的无穷小,3,设函数u在x0的某一去心邻域x|0|xx0|1内有界 即M0 使当0|xx0|1时 有|u|M,又设是当xx0时的无穷小 即0 存在20 使当0|xx0|2时 有| 取min1 2 则当0|xx0| 时 有 |u|u|M 这说明u 也是当xx0时的无穷小,证明,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,定理1 有限个无穷小的和也是无穷小,无穷小的性质,4,举例:,推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,定理1 有限个无穷小的和也是无穷小,无穷小的性质,推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小,5,(2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB ,推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 limcf(x)=climf(x),推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 limf(x)n=limf(x)n ,定理3 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么,极限的四则运算法则,(1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB,6,求极限举例,讨论,提示,例1,解,例2,解,7,解,例3,解,例4,根据无穷大与无穷小的关系得,因为,8,讨论,提示,当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0) ,9,先用x3去除分子及分母 然后取极限,解,先用x3去除分子及分母 然后取极限,例5,解:,例6,10,讨论,提示,例7,解,所以,11,解,例8,解,例9 计算,12,解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用,例10,是无穷小与有界函数的乘积,13,定理(复合函数的极限运算法则),说明,设函数yfg(x)是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则,把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0或x) 而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可得类似结果,14,定理(复合函数的极限运算法则),例11,解,设函数yfg(x)是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则,15,作 业 习题1.2 (P44): 14. 15.双号 16. 17.,16,因为limf(x)=A limg(x)=B 根据极限与无穷小的关系 有 f(x)=A+a g(x)=B+b 其中a及b 为无穷小,如果limf(x)A limg(x)B 那么 limf(x) g(x)limf (x) limg(x)A B,证明,即f(x)g(x)可表示为常数 AB 与无穷小 Ab+aB