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1,常系数,第八节,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第七章,2,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1. 当,时, 有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,( r 为待定常数 ),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,3,2. 当,时, 特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 则得,因此原方程的通解为,4,3. 当,时, 特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,5,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,6,若特征方程含 k 重复根,若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,7,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2. 求解初值问题,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,8,例3.,解:,由第七节例1 (P293) 知, 位移满足,质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设 t = 0 时物体的位置为,取其平衡位置为原点建,因此定解问题为,自由振动方程 ,9,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始条件得:,故所求特解:,方程通解:,1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ),10,方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼: n k,这时需分如下三种情况进行讨论:,2) 有阻尼自由振动情况,大阻尼: n k,临界阻尼: n = k,解的特征,解的特征,解的特征,11,( n = k ),临界阻尼解的特征 :,任意常数由初始条件定,最多只与 t 轴交于一点;,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,2) 无振荡现象 ;,12,例4.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例5.,解: 特征方程:,特征根 :,原方程通解:,(不难看出, 原方程有特解,13,例6.,解: 特征方程:,即,其根为,方程通解 :,14,例7.,解: 特征方程:,特征根为,则方程通解 :,15,内容小结,特征根:,(1) 当,时, 通解为,(2) 当,时, 通解为,(3) 当,时, 通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .,16,思考与练习,求方程,的通解 .,答案:,通解为,通解为,通解为,17,备用题1,为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .,解: 根据给定的特解知特征方程有根 :,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,18,备用题2,为特解的 6
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