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文档简介

第四节,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十二章,问题:,3.展开式是否唯一?,1.在什么条件下才能展开成幂级数?,两类问题:,在收敛域内,和函数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,称为泰勒系数 .,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,的级数，称为f (x) 的泰勒级数 .,形式为,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,定理1 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式中的余项满足:,设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域,内具有,如果函数 f (x) 能在点 x0 的某邻域上,等于其泰勒级数的,和函数，则 称f (x) 在该邻域内可以展开成泰勒级数.,证,证毕,定理2,证,逐项求导任意次,得,泰勒系数是唯一的,(1) f (x) 展开成,的幂级数，,(2) f (x) 展开成 x 的幂级数,1. 直接展开法,“ f (x) 展开成 x 的幂级数”步骤：,第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;,第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;,第三步 判别在收敛区间(R, R) 内,是否为0.,如果为零，,则函数 f (x) 在收敛区间内展开成 x 的幂级,数为,二、函数展开成幂级数,例1. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,故得级数,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,( 在0与x 之间),故,如图，,例2. 将,展开成 x 的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,2. 间接展开法,例如,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换、 四则运算、恒等变形、 逐项求导、 逐项积分等方法，求展开式.,例3,解,因为,展开成 x 的幂级数.,解:,上式右端的幂级数在 x 1、-1 收敛 ,x 1、-1有定义且连续,所以展开式对 x 1 、-1也是,成立的,于是收敛域为,例4. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分, 得,定义且连续,域为,上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,例5. 将函数,利用此题可得,展开成,解:,的幂级数.,例6. 将,例7. 将,展成 x3 的幂级数.,解:,例8. 将,展开成 ( x1 )的幂级数.,解:,内容小结,常用函数的幂级数展开式,说明：,
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