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第三节 曲线积分与路径无关,一、格林公式 二、 平面上曲线积分 与无关路径的条件,区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;,如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.,一维单连通 二维单连通,一维单连通 二维不连通,一维不连通 二维单连通,一、格林公式,定理1,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,证明(1),同理可证,证明(2),两式相加得,G,F,证明(3),由(2)知,L,1. 简化曲线积分,简单应用,2. 简化二重积分,解,(注意格林公式的条件),3. 计算平面面积,解,一、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内有,二、曲线积分与路径无关的条件,定理2,两条件缺一不可,有关定理的说明：,三、二元函数的全微分求积,定理3,解,解,小结,与路径无关的四个等价命题,条件,等 价 命 题,小结,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,3. 格林公式的应用.,格林公式;,若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。,思考题,思考题解答,
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