2019届高考数学复习平面解析几何9.8曲线与方程学案理北师大版.docx

9.8曲线与方程最新考纲考情考向分析1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2.了解解析几何的基本思想，利用坐标法研究曲线的简单性质3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在选择、填空题中出现.1曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线2求动点的轨迹方程的基本步骤知识拓展1“曲线C是方程f(x，y)0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”的充分不必要条件2曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.()(4)方程y与xy2表示同一曲线()(5)ykx与xy表示同一直线()(6)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的()题组二教材改编2已知点F，直线l：x，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线 B椭圆C圆 D抛物线答案D解析由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线3曲线C：xy2上任一点到两坐标轴的距离之积为_答案2解析在曲线xy2上任取一点(x0，y0)，则x0y02，该点到两坐标轴的距离之积为|x0|y0|x0y0|2.题组三易错自纠4(2017广州调研)方程(2x3y1)(1)0表示的曲线是()A两条直线 B两条射线C两条线段 D一条直线和一条射线答案D解析原方程可化为或10，即2x3y10(x3)或x4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线5已知M(1,0)，N(1,0)，|PM|PN|2，则动点P的轨迹是()A双曲线 B双曲线左支C一条射线 D双曲线右支答案C解析由于|PM|PN|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线6已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_答案x2y24(x2)解析连接OP，则|OP|2，P点的轨迹是去掉M，N两点的圆，方程为x2y24(x2).题型一定义法求轨迹方程典例 (2018枣庄模拟)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程解由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r242|MN|.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解跟踪训练 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线解如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由|O1O2|4，得O1(2,0)，O2(2,0)设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|r1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3b0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程解(1)由题意，得c，e，因此a3，b2a2c24，故椭圆C的标准方程是1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P(x0，y0)的切线方程是yk(xx0)y0，则由得1，即(9k24)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240，18k(y0kx0)236(9k24)(y0kx0)240，整理得(x9)k22x0y0ky40.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k1，k2，于是有k1k21，即1，即xy13(x03)若两切线中有一条斜率不存在，则易得或或或经检验知均满足xy13.因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2y213.题型三相关点法求轨迹方程典例 (2017合肥质检)如图所示，抛物线E：y22px(p0)与圆O：x2y28相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程解(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y22px，解得p1.(2)由(1)知抛物线E：y22x.设C，D，y10，y20，切线l1的斜率为k，则切线l1：yy1k，代入y22x，得ky22y2y1ky0，由0，解得k，l1的方程为yx，同理l2的方程为yx.联立解得易知CD的方程为x0xy0y8，其中x0，y0满足xy8，x02,2，由得x0y22y0y160，则代入可得M(x，y)满足可得代入xy8，并化简，得y21，考虑到x02,2，知x4，2，动点M的轨迹方程为y21，x4，2思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程跟踪训练 (2018安阳调研)如图，动圆C1：x2y2t2，1t3与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程解由椭圆C2：y21，知A1(3,0)，A2(3,0)设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y(x3)直线A2B的方程为y(x3)由相乘得y2(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y1.将代入得y21(x3，y0)因此点M的轨迹方程为y21(x3，y0)分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (12分)已知抛物线y22px经过点M(2，2)，椭圆1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，(0)，试求Q的轨迹思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x2，y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论(2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程(3)区分求轨迹方程与求轨迹问题规范解答解(1)因为抛物线y22px经过点M(2，2)，所以(2)24p，解得p2.所以抛物线的方程为y24x，其焦点为F(1,0)，即椭圆的右焦点为F(1,0)，得c1.又椭圆的离心率为，所以a2，可得b2413，故椭圆的方程为1.3分(2)设Q(x，y)，其中x2,2，设P(x，y0)，因为P为椭圆上一点，所以1，解得y3x2.由可得2，故2，得x22y23，x2,26分当2，即时，得y212，点Q的轨迹方程为y2，x2,2，此轨迹是两条平行于x轴的线段；8分当2，即0，即时，得到1.此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x2,2的部分12分1(2017衡水模拟)若方程x21(a是常数)，则下列结论正确的是()A任意实数a方程表示椭圆B存在实数a方程表示椭圆C任意实数a方程表示双曲线D存在实数a方程表示抛物线答案B解析当a0且a1时，方程表示椭圆，故选B.2设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则点P的轨迹方程是()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22答案D解析如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MAPA，且|MA|1，又|PA|1，|PM|，即|PM|22，(x1)2y22.3(2018湛江模拟)在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线 B椭圆 C圆 D双曲线答案A解析设C(x，y)，则(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，又121，化简得x2y50，表示一条直线4(2017宜春质检)设定点M1(0，3)，M2(0,3)，动点P满足条件|PM1|PM2|a(其中a是正常数)，则点P的轨迹是()A椭圆 B线段C椭圆或线段 D不存在答案C解析a是正常数，a26，当且仅当a3时“”成立当|PM1|PM2|6时，点P的轨迹是线段M1M2；当|PM1|PM2|6时，点P的轨迹是椭圆，故选C.5已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50答案D解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x,4y)，代入2xy30，得2xy50.6(2018广州模拟)如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是()A直线 B抛物线 C椭圆 D双曲线的一支答案C解析本题可构造如图圆锥母线与中轴线夹角为30，然后用平面去截，使直线AB与平面的夹角为60，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆故选C.7已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为_答案4解析设P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.P的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆即轨迹所包围的图形的面积等于4.8(2018梅州质检)在ABC中，|4，ABC的内切圆切BC于D点，且|2，则顶点A的轨迹方程为_答案1(x)解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，E，F分别为两个切点，则|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.|AB|AC|2)9已知ABC的顶点A，B坐标分别为(4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sin Bsin Asin C，则C点的轨迹方程为_答案1(x5)解析由sin Bsin Asin C可知bac10，则|AC|BC|108|AB|，满足椭圆定义令椭圆方程为1，则a5，c4，b3，则轨迹方程为1(x5)10.如图，P是椭圆1(ab0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且，则动点Q的轨迹方程是_答案1解析由于，又22，设Q(x，y)，则，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有1，即1.11. (2017广州模拟)已知点C(1,0)，点A，B是O：x2y29上任意两个不同的点，且满足0，设P为弦AB的中点(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解(1)连接CP，OP，由0，知ACBC，|CP|AP|BP|AB|，由垂径定理知，|OP|2|AP|2|OA|2，即|OP|2|CP|29，设点P(x，y)，则(x2y2)(x1)2y29，化简，得x2xy24.(2)存在根据抛物线的定义，到直线x1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y22px(p0)上，其中1.p2，故抛物线方程为y24x，由方程组得x23x40，解得x1或x4.由x0，故取x1，此时y2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，2)和(1,2)12.如图，P是圆x2y24上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程解(1)设M(x，y)，则D(x,0)，由知，P(x,2y)，点P在圆x2y24上，x24y24，故动点M的轨迹C的方程为y21，且轨迹C为椭圆(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，设l：yk(x3)，代入y21，得(14k2)x224k2x36k240，(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x13)k(x23)k(x1x2)6k6k.四边形OAEB为平行四边形，(x1x2，y1y2)，又(x，y)，消去k，得x24y26x0，由(*)中(24k2)24(14k2)(36k24)0，得k2，0x0，满足题意14已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是_答案1(y0)解析设抛物线的焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，O