对中考代数综合题的分析与思考-2014.4.18海淀.ppt

对代数综合题的分析与思考,向海淀区的老师们学习！ 范永利,数学学科中考命题改革思考,学科要求：突出主干知识，加强对基础的考查；突出考查基本思想、基本方法，突出考查主干知识和核心能力，注重试题素材与生活实践的紧密结合，注重灵活运用所学知识解决简单的生活实际问题的能力。 试题设计要符合学生的认知规律和年龄阶段的心理特征，要让学生利用数学概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决解释生活学习中遇到、观察到的简单数学问题。,中考命题在知识网络交汇点设计试题，融知识、方法、思想、能力、经验等于一体，坚持能力立意的原则，同时注意试题布局的科学性及合理性，如思维方法不同的试题及难度系数不同的试题的协调与匹配，达到全面考查考生的数学素养.,北京中考命题的基本原则,从一道题目谈起（大家一起试一试）,已知：抛物线yax 2bxc经过点（1，1），且对于任意的实数x， 有4x4ax 2bxc2x 24x4恒成立 （1）求4a2bc的值； （2）求yax 2bxc的解析式,发展条件：抛物线过（-1,1），得到a-b+c=1； 观察转化：4a+2b+c是x=2时y的值，联系对于任意的实数x， 有4x4ax 2bxc2x 24x4恒成立 可构造出4244a2bc24424，得到4a2bc=4. 消元得到：b=1-a，c=2-2a. 再代入消元，得4x4ax 2（1-a）x2-2a，整理得ax 2（3+a）x6-2a0，即有a0，且判别式0. 配方得到9(a-1) 2 0，得到a=1. 代入检验，x 22x 24x4=x 2 +(x-2) 2 符合题意，所以y=x 2 .,主要考点：数、式、方程、不等式、函数 1.含字母系数的一元二次方程 2.函数图象及其性质，注重数形结合思想 3.对代数式的变形能力 4.对代数对象的解读，隐含条件的挖掘，连续发展转化的能力,代数综合题比较关注学生代数能力的水平，高中数学学习的基础，知识交汇点，能力的体现点，是中考的考察重点.,一、研究中考说明，把握代数部分的C 级考点要求,能通过观察、实验、推理等思维活动，发现对象的某些特征或与其他对象的区别和联系；能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法，实现对特定的数学问题或实际问题的分析与解决。,C级要求核心考点、核心词,核心考点 数、式、方程（不等式）、函数 核心词 变形、解决、综合运用,有理数的运算 能运用有理数的运算解决简单问题 代数式的值 能根据特定的问题所提供的资料，合理选用知识和方法，通过代数式的适当变形求代数式的值 整式的加减运算 能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题 整式的乘法 能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形 平方差公式、完全平方公式 能根据需要运用公式进行相应的代数式的变形,6. 因式分解 能运用因式分解的知识进行代数式的变形，解决有关问题 7.一元一次方程的解法 会运用一元一次方程解决简单的实际问题 8.二元一次方程组的解法 会运用二元一次方程组解决简单的实际问题 9.分式方程及其解法 会运用分式方程解决简单的实际问题 10.一元二次方程的解法 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会运用一元二次方程解决简单的实际问题,11.解一元一次不等式（组）能根据具体问题中的数量关系，用一元一次不等式解决简单问题 12.函数及其图象 能探索具体问题中的数量关系和变化规律；并用函数加以表示；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析 13.一次函数 能用一次函数解决实际问题 14.二次函数 能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题,综合题的考查重点一般放在高中继续学习必须的函数问题上。 常常以数与形、代数计算与几何图形的性质、画图分析与列方程求解、函数图像及其性质等知识结合的综合性试题。 考查重要的数学思想方法如数形结合的思想、分类讨论的思想等数学思想。此类题往往会对给定的图形（或其一部分）施行平移、翻折和旋转的位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。,中考代数综合题常常以方程或函数知识为基础进行综合能力考查 解题时一般用综合分析法解，认真读题找准突破口，仔细分析各个已知条件，进行转化，发挥条件整体作用进行解题 解题时，认真计算做到准确，思维要开阔、灵活，考虑问题要全面,二、关注中考，大家常常提出的问题主要集中在哪些方面？, 试题命制的出发点是什么？ 试题考查的主干知识是什么？ 试题考查的能力及数学思想是什么？ 试题对学生的后续学习起到什么作用？试题的生长点在哪？ 在今后的教学过程中给学生讲授高中的知识是否会有利于学生中考？,例1（2013年第8题）如图1，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2.设弦AP的长为x，APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是,图1,A B C D,我们先以2013年第8题为例来思考,（一）试题定位,难度方面：作为选择题的最后一道题目，试题的主要功能是区分中等及中等以上水平的考生，难度定位在0.5-0.55之间； 试题的导向：定性分析与定量分析结合，重点要体现初、高中衔接的导向； 试题的考查目：考查的数学思想及方法是支撑某一数学板块的核心思想方法，对学生学习这一板块的内容起着穿针引线、不可替代的作用,（二）命制原则,基本的命题原则能力立意命制试题 基本出发点学生的发展，使试题不仅仅是体现出学生对基本技能的掌握情况，更能体现出学生在已积累的数学活动经验上的发展情况 在过程中考查学生，让学生经历发现、分析及解决问题的过程，让学生有主动探索的意识，使考查点最终落脚在创新意识的培养,函数体系基本架构,在学习“函数”的过程中，支撑研究函数知识体系的桥梁为“描点法”在初中，无论学习一次函数、反比例函数还是二次函数，“描点法”都是研究函数性质、应用等的核心方法通过“描点法” 将抽象的函数转化为直观的图象，进而研究各类函数及其性质，并且在这一过程中初步地体现了一个重要的数学思想数形结合的数学思想,在高中阶段“描点法”仍然是研究函数（例如指数函数、对数函数、三角函数、导函数等）及其性质的基本工具，无论初中还是高中，它都是支撑函数体系学习的基本方法因此，根据试题需要体现的初、高中的衔接和教学导向作用，将“描点法”作为考查对象,试题考查的方向、思想和能力确定之后，根据试题难度的定位，选择学生比较常见的素材作为背景动点在半圆上运动如图1，当动点P在半圆AB上运动时，点P会有三个比较特殊的点，使得PAO分别为三个特殊的三角形等边三角形、等腰直角三角形和顶角为120的等腰三角形，并且这三个三角形的面积是可求的：,图1,“描点法”草图,进一步地，选取AP作为自变量x， PAO的面积作为因变量y，进行描点：,本题难度为0.28 思维受阻在哪里？ 惧怕心理 阅读、审题、提取信息的能力 对函数与图像对应关系的认识与理解 综合处理问题的能力 我们的对策与改进？信心、耐心、能力,怎么提升学生的能力,所以选A,A B C D,（2013北京8）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2.设弦AP的长为x，APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是,经验：动点函数图象问题选取某的特殊位置， 去分析解答是较为有效的方法.学会否定结论的方法。,X = 时，y有最大值 ，可排除B、D,X=1时，y= ， 可排除C,观察问题的角度变化一下： 看坐标系中对应的关系，出现的特殊值x=1和y=0.5.,阅读重理解、审题识图形 图像有特点、解决方法多,抓住当AP=1时，AOP的面积恰是以1为边长的等边三角形的面积， 即 估算得到 ，从而可分析得解.,本题很特殊，图像中现尖。,点动无拐点， 图像没有尖，排除 C和 D，再用最大值，选项一眼明.,P,A B C D,本题着重考查了什么？ 1. 核心方法：研究函数问题的描点法。 2. 主干知识：考查圆的基础知识、动点运动过程中形成的函数关系，函数图象及相关知识。 3.能力与数学思想：要求考生通过观察、实验、猜测、推理等活动，探索具体问题中变量间的数量关系和变化规律，并能根据变量的变化趋势进行预测；考查了学生对知识的综合运用，以及运用数形结合的思想探究问题、分析解决问题的能力等.,通过对2013.8题的剖析不难发现，中考试题的命制并不是以“知识”为主，而是以“能力”为核心，站位于学生全面发展的角度进行考查，素材的选择、背景的设置和考查内容都是为能力与思想服务的因此也就回答了老师们比较困惑的“是否超前学习有利于中考”这一问题,再看25题的命制过程 （一）北京2012年25题的总体定位,1.区分原则：“区分高端，适度中上、兼顾中下” 2.设问方式：采取“多问”的设计方式，层层搭设台阶，问与问环环相扣 3.题目特点：呈现出“易上手，可深入，重思维”的特点。 为不同层次的学生搭设不同的平台，使学生得到不同的发展和展现,（二）25题的考查目的,1.通过命制开放性试题，在考查学生自主学习能力的同时，更加注重对学生学习过程的考查 2.试题在“新定义”的背景下，要求学生通过现场学习，理解新定义，结合所掌握的知识和思想方法分析新定义的几何涵义，借助几何直观，探索问题与问题之间在数量和空间上的关系，发现解决问题的方法 题目采用上述的设计方式，主要目的是站位在九年义务教育数学课程结束后，学生是否形成了正确的数学观和自身的数学体系，不仅仅是对知识、能力、思想的考查，更多地是对学生的数学积淀的考查,（三）25 题的作用,25题加强了对学生学习过程性的考查，学习能力的考查，是对学生九年基础教育学习后的检验是否初步形成了一定的数学观，对数学有了一定的认识。例如怎样学习一个概念，它要经历的主要过程是什么.,（四）25题的命制,1.命题原则 能力立意命制试题作为基本的命题原则. 试题注重对学生思维能力的考查.对于思维能力的考查，更加侧重于学生是否已经使用数学逻辑手段，讲知识、能力和思维系统化，形成自身的数学逻辑体系. 在过程中考查学生能力. 让学生经历问题的发现、分析及解决的过程，让学生有主动探索问题的意识，使考查点最终落脚于创新意识的培养.,（五）25题结构、思想与能力的确定,1.确定试题在结构上要有“维度”的拓展空间问题的发展方向或研究方法在“维度”上具有通性，在思维上可以进行延展 2.试题在特殊到一般的总体思想下，要求学生用运动与变化的眼光看待问题，通过对问题进行类比与归纳，结合数形结合的思想，发现问题的联系与区别，寻求出解决问题的思路 3.根据试题的结构和思想，从逻辑思维能力、探究能力、发现能力、分析和解决问题的能力等方面对学生的能力进行考查.,（六）25题的组织,根据试题的结构，确定试题的主线由特殊的“点与点”的引入，逐步扩展到一般的“线与线”的探索 试题在呈现形式上，采取“背景介绍、知识学习、深入应用”的方式，使其如同一本教科书一样，具有完整的框架与知识，使之成为一个系统化的模块 1.背景的组织 根据试题在“维度”上具有拓展性，确定题目的基本架构是以在平面直角坐标系为问题探讨的背景，逐步开展试题的探究.,根据试题的结构上是由特殊的“点与点”的引入开始，并逐步地拓展到“二维”的“线与线”的探究，因此确定“距离”作为试题发展的载体 为了让学生更好地理解和掌握“非常距离”的概念，通过具体的例子，进一步地解释了“非常距离”的几何涵义，进而形成了背景材料的后半部分.,（七）试题的发展方向,从题目的具体设计上来说，根据试题的发展主线，结合“题目采取多问的设计方式，层层搭设台阶，问与问环环相扣”的定位特点，对问题进行如下设计: 让学生对新定义进行学习，直接利用新定义的几何涵义进行简单应用特殊的“点与点”的应用；,为了更好过渡到对“线与线”的探究，对试题搭设台阶“点与线”的探究，这样就为探究“线与线”的问题进行了铺垫，可以更好地体现题目的层次性，让学生更好的理解题目 在“点与点”、“点与线”的基础上，让学生继续探索“线与线”的具体规律,从题目的考查内容上说，根据背景是引入的“非常距离”，因此，考查内容的核心就落脚于“距离”上面 根据试题的考查思想在特殊与一般的总体思想下，用运动与变化的观点解决问题，把问题的考查点放在点的运动上面，通过点的运动，就会出现线段长度的变化，进而就会产生“最值”的问题 最终考查内容就落脚于由运动产生的最值问题，而最值问题就应该是贯穿整个题目的核心问题，进而解决核心问题的方法就应该是贯穿整个题目的核心方法,（八）25题解答思路分析,第(1)问，主要读懂新定义，尤其是对“非常距离”的几何解释；其次是利用图形进行解答这两方面不仅是解决此问的关键，也是解决本题的关键 第(2)问，最后是求两个点之间的“非常距离”，并且这两个点都是运动变化的，这是本问的难点。,（九）25题突破难点的的几个方面：,首先，关注第(1)、(2)问和每问中和之间的关系这两问都是研究两个点的“非常距离”：第(1)问中的两个点一个是定点，另一个点则是在特殊直线y轴上运动 第(2)问，问中的两个点一个是定点，另一个点则在一条比较“一般”的直线上运动：问中的两个点一个在直线上运动，而另一个则在圆上运动。从第(1)问到第(2)问一直遵循着从特殊到一般的思路因此，利用特殊与一般的思想，从运动与变化的角度来分析问题，就成为解决此题的一条主线,最后利用数形结合分析计算求解 （3）利用这些等腰三角形的斜边方向的方向一致性，将已知直线沿等腰三角形斜边方向平移至与圆第一次相切，切点就是所要求的点E,从统计结果上看，本题从区分度的效果看达到了预期的目的。,求抛物线与坐标轴交点，转化为求含字母系数一元二次方程根的问题,等腰直角三角形求边长，点坐标,用好条件确定点，求直线解析式,（3）抓四点： 三点确定二次函数解析式； 注意P、M、N三点横坐标同，三点自上而下在垂直于Y的直线上； 抓住n=-2和2，确定直线与抛物线的交点E、F； 求直线EF。 策略：注重分析看位置，抓住关系分步求。,四基：1.知识与技能： 二次函数与一元二次方程 比较数的大小 动点与点的位置 2.数学思想方法：数形结合、转化思想、待定系数法 3.基本经验 ：狠抓分界点,已知二次函数 ，在x=0 和 x=2时的函数值相等. (1)求二次函数的解析式； (2)若一次函数 y=kx+6 的图象与二次函数的图象都经过点A(-3,m) ，求m 和k 的值； (3)设二次函数的图象与 x轴交于点 B,C（B点 在C点 的左侧），将二次函数的图象在B,C点 间的部分（含B点 和C点 ）向左平移 n(n0)个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线 y=kx+6 向上平移 n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象 G有公共点时，求n 的取值范围.,【2012年北京中考第23题】,已知二次函数 在x=0 和 x=2时的函数值相等, (3)设二次函数的图象与 x轴交于点 B,C（B点 在C点 的左侧），将二次函数的图象在B,C点 间的部分（含B点 和C点 ）向左平移 n(n0)个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线 y=kx+6 向上平移 n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象 G有公共点时，求n 的取值范围。,向左平移 n个单位,向上平移 n个单位,四基：1.知识与技能 二次函数及其性质，一次函数 直线与抛物线交点 点的位置 图形平移 2.数学思想方法 数形结合、转化思想、待定系数法 3.基本经验 狠抓分界点 、图像的衔接点,策略：抓住分界点，找出极端定位置 观察趋势出范围。认真审题，把握住题目的相互关系！,华罗庚教授告诉我们：复杂的问题要善于“退”，足够的“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。,问题（3）就可以转化为，当n取何值时， x1，x2是存在的。,另解：从函数的交点的角度思考,向左平移n个单位,向上平移n个单位,2013年中考第23题,在平面直角坐标系xoy中，抛物线,与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B， （1）求A、B点的坐标 （2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称， 求直线l的解析式 （3）若该抛物线在-2x-1这一段在直线l的上方， 并且在2x3这一段在直线l的下方，求该抛物线的解析式.,2013年中考第23题,在平面直角坐标系xoy中，抛物线,与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B， （1）求A、B点的坐标； （2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式 （3）若该抛物线在-2x-1这一段在直线l的上方，并且在2x3这一段在直线l的下方，求该抛物线的解析式,本题属于代数综合题，在函数、方程与不等式等知识的结合点处命制试题，特别关注函数图象与性质的灵活运用，本着“能力立意”的原则，试题重在考查考生数形结合、画图识图以及对图像关系的分析能力。试题以三问的形式，设置合理的梯度，第1问是常规的求函数图象与坐标轴交点问题，属于基础题； （第1问难度值为0.77）,第2问利用轴对称的性质求出特殊点的坐标，再利用待定系数法求直线解析式，难度不大，属于中档题；（第2问难度值为0.59） 第3问需要结合题目给出的在某一区间内抛物线与两条直线的位置关系，并结合图象的对称性确定二次函数的解析式，对考生数形结合能力以及分析和解决问题能力的要求较高，属于较难试题。（第1问难度值为0.17）,本题设计视角新颖，充分考查考生的思维过程，是一道好题. 整体难度为0.46，区分度为0.79， 能有效区分不同等第的考生对函数概念及性质的理解.,抛物线的对称性,直