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力学 振动 波动 大学物理A(上)期中习题课 期中习题课期中习题课 第1页 共21页 例题例题: 质量为质量为m的小球自高为的小球自高为y0处沿水平方向以速率处沿水平方向以速率v0抛出抛出, 与地面碰撞后跳起的最大高度为与地面碰撞后跳起的最大高度为y0/2, 水平速率为水平速率为v0/2, 则则 碰撞过程中碰撞过程中 (1) 地面对小球的竖直冲量的大小为地面对小球的竖直冲量的大小为_; (2) 地面对小球的水平冲量的大小为地面对小球的水平冲量的大小为_. () + = = = = 0 0 00 0 0 0 2 1 21 22 2 2 v v vv v vv m gym gyyg gy y x y x ： ： 水平方向 竖直方向 碰撞后 碰撞前 水平方向 竖直方向 碰撞后 碰撞前 O y x y0/2 y0 v0/2 v0 m 解解: 期中习题课期中习题课 第2页 共21页 g v sing v cosg v sin 2cos g v 例题例题: 斜上抛物体在上升过程中斜上抛物体在上升过程中, 某点处的速率为某点处的速率为v, 速度方速度方 向与水平成向与水平成 角角.经一段时间后经一段时间后, 速度的方向转过速度的方向转过 /2,这段时这段时 间为间为: (A) (C) (D) (B) B 解解: 水平方向：水平方向： 竖直方向：竖直方向： sincosvv= sin 1 vv= y y sincoscos 2 2 vvv= gt yy = 12 vv g t sin v = O 0 v v 1y v 2y v x v x v v x y 期中习题课期中习题课 第3页 共21页 例题例题: 一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周运动的圆周运动,在在t = 0时经过时经过P点点, 此后此后 它的速率它的速率v = A+Bt (其中其中A、B为正的已知常量为正的已知常量)变化变化. 则质点则质点 沿 圆 周 运 动 一 周 后 再 经 过沿 圆 周 运 动 一 周 后 再 经 过 P 点 时 的 切 向 加 速 度点 时 的 切 向 加 速 度 a = _, 法向加速度法向加速度an = _. 解解: BtA+=v 2 2 1 BtAts+= BsABtAtBABtA2) 2 1 (2)( 22222 +=+=+=v B R A R RBA R BsA R an 4 222 2222 += + = + = v B t a= d dv 期中习题课期中习题课 第4页 共21页 例题例题: 一质量为一质量为M的质点沿的质点沿x轴正方向运动轴正方向运动, 假设该质点通过坐标假设该质点通过坐标 为为x的位置时速度的大小为的位置时速度的大小为kx (k为正值常量为正值常量), 则此时作用于该质则此时作用于该质 点的力点的力F = _, 该质点从该质点从x = x0点出发运动到点出发运动到x = x1处所经处所经 历的时间历的时间 t = _. xMk x M t x x M t MFkx 2 d d d d d d d d = v v vv v 0 1 0 ln 1 d d d d1 0x x k t x x tkkx t x x x t = v 解解: m1 m2 例题例题: 如图如图, 两木块质量为两木块质量为m1和和m2, 由一轻弹簧连接由一轻弹簧连接, 放在光滑水放在光滑水 平桌面上平桌面上, 先使两木块靠近而将弹簧压紧先使两木块靠近而将弹簧压紧, 然后由静止释放然后由静止释放. 若在若在 弹簧伸长到原长时弹簧伸长到原长时, m1的速率为的速率为v1, 则弹簧原来在压缩状态时所则弹簧原来在压缩状态时所 具有的势能是具有的势能是 _. 21122211 , 0mmmmvvvv=+ 2 1 2 21 1 2 22 2 11kp 2 1 2 1 2 1 vvv m mm mmmEE + =+= 解解: 期中习题课期中习题课 第5页 共21页 6 8 tg 2 = mg mr rad/s 9 .12 3 4 = r g R O C P r mg mr 2 例题例题: 一光滑的内表面半径为一光滑的内表面半径为10cm的半球形碗的半球形碗, 以匀角速度以匀角速度 绕其对称绕其对称OC旋转旋转. 已知放在碗内表面的一个小球已知放在碗内表面的一个小球P相对于相对于 碗静止碗静止, 其位置高于碗底其位置高于碗底4cm, 则由此可推知碗旋转的角速则由此可推知碗旋转的角速 度为度为 (A) 10 rad/s. (B) 13 rad/s. (C) 17 rad/s. (D) 18 rad/s. B 解解: 期中习题课期中习题课 第6页 共21页 例题例题: 设有一均匀圆盘形转台设有一均匀圆盘形转台, 其质量为其质量为M, 半径为半径为R, 可绕可绕 竖直中心轴转动竖直中心轴转动, 初始时角速度为初始时角速度为 0. 然后然后, 有一质量也为有一质量也为 M的人以相对园盘转台恒速率的人以相对园盘转台恒速率u沿半径方向从转台中心轴沿半径方向从转台中心轴 处向边缘走去处向边缘走去，则转台转过的角度与时间则转台转过的角度与时间t的函数关系的函数关系 为为 . vvMr t MRurM t MRMR+=+= d d 2 1 )( d d 2 1 2 1 22 0 2 t tMuMR t Mr t MR d d 2 1 d d d d 2 1 22222 +=+= t R tu d 2 1 d 2 22 0 + = R ut u R2 arctan 2 0 = 解解: 期中习题课期中习题课 第7页 共21页 例题例题: 光滑的水平桌面上有长为光滑的水平桌面上有长为2L、质量为质量为m的匀质细杆的匀质细杆, 可绕过其中点可绕过其中点O且垂直于桌面的竖直固定轴自由转动且垂直于桌面的竖直固定轴自由转动, 起起 初杆静止初杆静止, 有一质量为有一质量为m的小球沿桌面正对着杆的一端的小球沿桌面正对着杆的一端, 在垂直于杆长的方向上在垂直于杆长的方向上, 以速度以速度v运动运动, 如图所示如图所示, 当小球当小球 与杆端发生碰撞后与杆端发生碰撞后, 就与杆粘在一起随杆转动就与杆粘在一起随杆转动, 则这一系则这一系 统碰撞后的转动角速度是统碰撞后的转动角速度是 (A) Lv/12 (B) 2v/(3L) (C) 3v/(4L) (D) 3v/L v O () L mLLmlm 4 3 2 12 1 2 2 v v = += C 解解: 期中习题课期中习题课 第8页 共21页 例题例题: 如图所示如图所示, 一长为一长为l、质量为质量为m的均匀细棒的均匀细棒, 可绕光滑轴可绕光滑轴O在在 竖直面内转动竖直面内转动. 棒由水平位置从静止下落棒由水平位置从静止下落, 转到竖直位置时与原转到竖直位置时与原 静止于地面上的质量也为静止于地面上的质量也为m的小滑块碰撞的小滑块碰撞, 碰撞时间极短碰撞时间极短. 滑块与滑块与 地面的摩擦系数为地面的摩擦系数为 , 碰后滑块移动碰后滑块移动S后停止后停止, 棒继续沿原方向转棒继续沿原方向转 动动, 求碰后棒的质心求碰后棒的质心C离地面的最大高度离地面的最大高度h. m C m C S h l 解解: 过程过程1: 棒下摆棒下摆, 机械能守恒机械能守恒, 则有则有 += 22 1 2 l mgJmgl 2 3 1 mlJ = (1) 其中其中 l g3 =(2) 过程过程2: 棒和滑块的碰撞棒和滑块的碰撞, 系统角动量守恒系统角动量守恒 lmJJv+= (3) 过程过程3: 滑块运动且棒上摆滑块运动且棒上摆, 滑块仅受摩擦力作用滑块仅受摩擦力作用, 由动能定理由动能定理 2 2 1 0 vmSf=mgf =(4) 其中其中 棒棒上摆上摆机械能守恒机械能守恒 mgh l mgJ= + 22 1 2 SlSlh 6 3+= 联立联立(2)-(5)式可得式可得 (5) 期中习题课期中习题课 第9页 共21页 例题例题: 有一谐振子沿有一谐振子沿x轴振动轴振动, 其振动周期为其振动周期为4s, 振幅为振幅为A, 当当t = 0时时, 振子过振子过A/2处向处向x轴负向运动轴负向运动, 则其振动方程为则其振动方程为: (A) ) 2 cos(tAx =(B) (C) (D) ) 2 cos( 2 t A x = ) 32 cos( =tAx) 32 cos( +=tAx D x A/2 y O 期中习题课期中习题课 第10页 共21页 例题例题: 一质点以周期一质点以周期T作简谐运动作简谐运动, 则质点由平衡位置到最则质点由平衡位置到最 大位移一半处所用的最短时间为大位移一半处所用的最短时间为 : (A) T/4; (B) T/6; (D) T/8. (C) T/12; C x -A/2 y O 例题例题: 两个小球两个小球1与与2分别沿分别沿x轴作简谐轴作简谐 运动运动, 已知它们的振动周期各为已知它们的振动周期各为T1 = 2s, T2 = 1s. 在在t = 0时时, 小球小球2的相位超前小的相位超前小 球球1的相位的相位 . 当当t = 1/3 s时时, 两球振动的两球振动的 相位差为相位差为: (A) 4 /3; (B) /3; (D) /2. (C) ; A 3 4 ) 3 () 3 2 ( 12 =+= 期中习题课期中习题课 第11页 共21页 例题例题: 如图所示如图所示, 两个同频率两个同频率、同振幅的简谐运动曲线同振幅的简谐运动曲线a和和 b, 它们的相位关系是它们的相位关系是: (A) a比比b滞后滞后 /2; (B) a比比b超前超前 /2; (D) b比比a滞后滞后 /4. (C) b比比a超前超前 /4 ; O t x a b B 期中习题课期中习题课 第12页 共21页 例题例题: 两个小球两个小球1与与2分别沿分别沿x轴作简谐运动轴作简谐运动, 已知它们的振已知它们的振 动周期动周期、振幅都相同振幅都相同. 当小球当小球1自平衡位置向负方向运动时自平衡位置向负方向运动时, 第二个小球在第二个小球在x = -A/2处也向负方向运动处也向负方向运动, 则则两球振动的相两球振动的相 位差为位差为: (A) /2; (B) 2 /3; (D) 5 /6. (C) /6; C 2 x 1 -A/2 y O 期中习题课期中习题课 第13页 共21页 例题例题: 用余弦函数描述一简谐振子的振动用余弦函数描述一简谐振子的振动, 若其速度若其速度 时间时间 (v t)关系曲线如图所示关系曲线如图所示, 则振子的初相位为则振子的初相位为: (A) /6; (B) /3; (D) 2 /3. (C) /2; A O t (s) v (m/s) m v 2 1 m v x y O ()+=t m sinvv 2 1 sin= 期中习题课期中习题课 第14页 共21页 例题例题: 一个质点同时参与两个同方向一个质点同时参与两个同方向, 同频率的谐运动同频率的谐运动, 振振 动方程分别为动方程分别为: )cm( )62cos(6 1 +=tx)cm()32cos(8 2 =tx 试用旋转矢量法求合振动的振动方程试用旋转矢量法求合振动的振动方程. 解解: cm1086 222 2 2 1 =+=+=AAA 2 A 1 A 3/ 6/ x A 8 6 ) 3 (= tg rad 403 . 0 8 6 3 1 = tg cm)403 . 0 2cos(10=tx 期中习题课期中习题课 第15页 共21页 例题例题: 有一余弦波沿有一余弦波沿x轴方向传播轴方向传播, 波速为波速为u = 100m/s. 波长波长 为为0.02m, 振幅为振幅为0.03m. 在在t = 0时时, 原点处的质点通过平衡位原点处的质点通过平衡位 置向上运动置向上运动. 试求试求 (1) 波动表达式波动表达式; (2) t = 1s时通过平衡位置时通过平衡位置 的那些点的坐标的那些点的坐标. 解解: s102 4 = u T 14 srad10 2 = T 原点振动方程原点振动方程: )cos( o +=tAy 初始条件初始条件: cos0A=0sin=Av 2/= 2/= )SI( )210cos(03 . 0 4 o =ty )SI( )2) 100 (10cos03 . 0 4 = x ty波动表达式波动表达式: s1=t0)100 2 1 10(cos03. 0 4 =xy 2 ) 12()100 2 1 10( 4 +=kx (SI) 100 1 100 + = k x ), 2 , 1 , 0(=k 期中习题课期中习题课 第16页 共21页 例题例题: 已知驻波方程已知驻波方程 cm 750cos16 . 0 cos0 . 2txy = 求求: (1) 振幅与波速振幅与波速. (2) 节点间的距离节点间的距离. (3) t = 2.0 10-3秒时秒时, 位于位于x = 5.0cm处质点的速度处质点的速度. 解解: 标准方程标准方程: t T xAy 2 cos 2 cos2= 0 . 22=Acm0 . 1=A16 . 0 2=16 . 0 2= 7502=T7502=T 13 scm107 . 4 = T u (1) (2) 节点间的距离节点间的距离 cm20 216 . 0 2 2 = (3) tx t y u xt 750sin16. 0cos7500 . 2 , = = )100 . 2750sin()0 . 516 . 0 cos(7500 . 2 3 = 13 scm1004 . 1 = 期中习题课期中习题课 第17页 共21页 例题例题: 平面简谐波沿平面简谐波沿x轴正向传播轴正向传播, 波长为波长为 , 若若P1点振动方程为点振动方程为y1 = Acos(2t+ ), 则则, (1) P2点振动方程点振动方程, (2) 求与求与P1点振动状态相点振动状态相 同的那些点的位置同的那些点的位置. 解解: P1 P2 O x L1 L2 )(2cos 1 + + = u Lx tAy )(2cos 12 2 + + = u LL tAy )( 2 2cos 122 +=LLtAy )2cos( 1 +=tAy kt u Lx t22)(2 1 +=+ + kLx=+)( 1 kLx= 1 ), 2 , 1 , 0(=k )(2cos 1 + + = u Lx tAy 期中习题课期中习题课 第18页 共21页 例题例题: 角频率为角频率为 的的平面简谐波入射到平面简谐波入射到P点反射点反射, 以后形成驻以后形成驻 波波. 设反射点存在半波损失设反射点存在半波损失, 在在O点点t = 0时时, y = 0, 且向下运且向下运 动动. 求驻波方程以及求驻波方程以及D点的振动方程点的振动方程(DP = /6). 解解: u 43 O P x 6 D 入射波函数入射波函数: ) 2 cos( +=xtAy入 入 0,00 0 =yxt0cos= 2/= ) 2 2 cos( +=xtAy入 入 )4 2 2 cos( +=xtAy反 反 ) 2 2 cos(