高等数学第二章极限与连续续.ppt

第 二 章,极限与连续,4 极限的运算法则,为了简单起见，下面极限省略了极限过程，所述极限均指同一极限过程。,注：应用极限的四则运算法则的前提是极限 lim f (x) 和 lim g(x) 都存在。,例1 求,解,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,分析 不能直接运用极限运算定理.先约分再求极限 .,解,“ ”,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,一般地,对有理函数,正整数,有,例8 求,解,= 1 .,通分,练习：求极限,解 原式 =,= 0 .,（2）,（2）,5 极限的存在准则和两个重要极限,注：对于自变量的其它变化,函数极限的情形也有类似的结论.,且,则,5.1极限存在准则,准则1（夹逼准则）设函数,存在,并有,由于数列是特殊函数,这个极限存在准则同时,也适用于数列,即有,准则1*（夹逼准则）设有数列,满足条件,且,由牛顿二项公式，得,由夹逼准则得,所以,准则2 单调有界数列必有极限。,5.2两个重要的极限,1,该极限的结构形式：,例1求,解,例2 求极限,解,3,例3 求极限,例4 求,于是,例5 求,解,练习：求下列极限：,1 cos2x = sin2x,=,sin ( x ) = sin x,(1),作为准则2的应用,我们可以得到另一个重要的极限:,结构形式：,2.,e 是一个无理数， e = 2.7182818284590,例6：求极限,解： 原式 =,1,解法二： 原式 =,= e-1,例7 求,解,解 原式 =,1,= e 2,例8 求极限, 1 + 1,= e 2,练习：求下列极限：,解： (1) 原式 =,=,= e -1,(2),(2) 原式 =,= e 3,(1),(3),(4),(3),(4),解,6 函数的连续性,6.1 函数的连续性概念,1） f (x) 在点 x0 的邻域有定义；,x0 称为函数 f (x) 的连续点.,例： x0 = 1 是函数 f (x) =1 2x2 的连续点。,1. 函数 f (x) 在一点 x = x0 连续的定义,(1) 定义1 若函数 y = f (x) 满足条件：,则称函数 f (x) 在点 x = x0 处连续,注：判断是否连续的方法是求极限.,3） f (x) 在点 x0 的极限值等于在这一点的函数值.,解 (1) f (x) 的定义域为 R , 从而在 0 的邻域内有定义； (2) f (x) 在 0 点的极限为,f (x) =,= 2,即极限存在；,要连续则 0 点的函数值要等于极限值： 即,f (0) = 2,k =, 当 k = 2 时， f (x) 在 x = 0 处连续,(2)增量的概念,于是 x = x0 + x,y = f (x0 + x) f ( x0 ),例：对给定的函数 f (x) =1 2x2,f (1+0.5) f (1),= 1 2(1.5)2 1 + 2,= 2.5,当 x0=1, x = 0.5 时，有,又,从而得,2. 左连续和右连续,3.函数在区间上连续的概念,注意函数的连续性是一点一点地定义的,即函数,的连续性是一个局部的概念.,的间断点.,1)间断点概念,4. 间断点及其分类,通常把间断点分为以下两种类型：,2)间断点分类,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数,的定义, 则可使其变为连续点.,又,的第二类间断点。,若为间断点,指出其类型.,例4 讨论函数,解 因为,的间断点。又,小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,6.2 连续函数的运算及其初等函数的连续性,1、连续函数的四则运算,则,2、复合函数的连续性,即连续函数的复合函数仍是连续函数.,3、反函数的连续性,定理3 单调连续函数的反函数在相应区间内仍是单调连续函数.,连续函数。,单调递减函数有类似结果。,则其反函数,上是连续的,且为,由函数连续性的定义可以证明,指数函数,上单调递增的连续函数.,同样，由定理2得反三角函数,在它们的定义域内是连续的。,在,4、一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,即若 是初等函数 的定义区间内的点，则,5、利用连续性求函数的极限,例6 计算,解 由对数函数和三角函数的连续性知,6.3闭区间上连续函数的性质,一、最大值和最小值定理与有界性定理,使得,推论 闭区间上的连续函数 在该区间上一定有有界.,由定理4 可得：,注意 定理中的条件是充分的。,考察下列2个函数：,在闭区间 上有间断点,没有最大值和最小值.,几何上表示： 连续变 化的变量从一个值变到 另一个值的过程中，一 定要经过一切中间值而决 不会漏掉任何一个。,几何上表示：,推论2 闭区间上的连续函数一定可以取得其最,大值与最小值之间的一切值。,证 令,练习题,解 原式,（1）,（2）,（3）求极限,解：原式 =,（4）,a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2),解原式 =,1,= 0,（5）,分别讨论 x 0 及 x 1 时 f (x) 的极限是否存在？,解：,两个重要极限,（6）,解 原式 =,cosx(1 cos2x),1 cosx,（7）,解,原式 =,=,=,e,e,= e,（8）,解 原式 =, x(ln(x+1) lnx)