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第六节 几何形体上积分的应用,一、几何应用,二、物理应用,几何形体上的积分：,重积分,对弧长的曲线积分,对面积的曲面积分,第一型积分,二重积分、三重积分,空间区域 的体积,平面或空间曲线段L或 的弧长,空间曲面片的面积,平面区域D的面积,的度量,一、 几何应用,（1）用三重积分计算，,.,利用柱面坐标,有,例1,解,（2）用二重积分计算,圆柱体,曲顶柱体,例2 求半径为a的球的表面积,解,上半球面,取坐标如图，,于是,瑕积分,二、物理应用,以平面薄片为例，推出质量，重心，转动惯量，引力等公式. 其他几何形体类似.,平面薄片的质量,平面薄片的质量为,平面薄片的重心,由力学知道,若质点系由m个质点组成，,其质量分别为,则质点系的,重心坐标为,其中,分别是质点系对y轴和x轴的静力矩.,整个薄片对y 轴和对x轴 的静力矩是（由微元法）,将薄片划分为若干小块,把它们看成质点系.,取一个小块,看成一个质点，其质量为,它对y轴和x轴的静力矩为,平面薄片的重心坐标为,静力矩,求位于两圆,之间的均匀薄片的重心.,由于对称性有,薄片面积为,由公式得,例3,解,设面密度为,重心坐标为,特别地，当薄片是均匀密度时，,这时重心也称为形心.,重心坐标为,类似有立体 的重心坐标为,求均匀半球体,的形心.,由对称性，形心在z轴上，所以,例4,解,形心坐标是,（球坐标）,平面薄片地转动惯量,平面薄片对x 轴和对y 轴地转动惯量为,和,由力学知，质点对轴的转动惯量,求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为,)对其直径边的转动惯量.,解 取坐标系如图，,（极坐标）,转动惯量为,例5,例6 求半径为R、中心角为 的圆弧 L,对于它的对称轴的转动惯量（设线密度为,常量 ）.,解 取坐标系如图，圆弧上的点(x,y)到对,称轴(x轴)的距离平方为,所以有,平面薄片(在xoy面)对空间质点的引力,平面薄片对质点的引力的三个分力是,小 结,几何形体的度量：,一、 几何应用,1.平面区域和曲面的面积,2.曲线弧的长度,3.立体的体积,二、物理应用,1.重心（形心）,2.转动惯量,3.引力,通过本节的学习应从中领悟用元素法建立简单的几何量和物理量的积分表达式的方法.,作 业,p.132 习题10-1 5.,p.159 习题10-4
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