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文档简介

高等数学,(上),第1章 函数、极限、连续,本章主要内容,1.1 函 数,本节内容 函数的概念及其性质 反函数和复合函数 初等函数,区间与邻域 区间 数学中,某些指定的数集在一起就成为一个数集。 显然,数集是关于数的集合。 常用的数集及其代号是:自然数集N (包括0和所有正整数)、整数集Z、有理数集Q和实数集R。 其中,涉及最多的是实数集R。,1.1.1 函数的概念,为点 的邻域,记作 ;点 和数分别称为,这个邻域的中心和半径。,数集 称为点 的空心邻域,记作 。,邻域和空心邻域在数轴上的表示见下图。,邻域,设 与是两个实数,且0,数集 称,定义1-1 设x和y是两个变量,D是R的非空子集,如 果对于每一个数xD,变量y按照某种对应法则有 惟一确定的数值和它对应,则称y是x的函数,记作 yf (x) 并称变量x为该函数的自变量,变量y为因变量, f 是函数中表示对应法则的记号,D是函数的定义域, 也可以记作D(f ),数集 Wy|yf (x), xD 为函数的值域,也可以记作 Rf 或 f (D)。,函数,函数的表示方法有解析法(也称公式法)、图像法、 表格法等等。,还需要指出,函数可以含有一个或多个自变量。 含有一个自变量的函数称为一元函数。 含有多个自变量的函数称为多元函数。,如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应的 函数值总是只有一个,这种函数叫做单值函数,否则 叫多值函数,函数的定义域,函数的定义域就是指使函数有意义的自变量x的取值范围。 判断函数有意义的方法有下列几种:,分式的分母不等于零;,偶次方根式中,被开方式大于等于零;,含有对数的式子,真数式大于零;,反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1;,分段函数的定义域是各段函数定义域的并集;,若已知y = f ( x )的定义域是a,b,求 y= f (x) 的定义域, 方法是解不等式组 a(x) b,练习:求下列函数的定义域,例1 求下列函数的定义域,定义1-2 设函数yf (x)在区间I内有定义。如果存在 正数M,使得对任意的x,均有 | f (x) | M 则称函数yf(x)在区间I内是有界的。M为yf (x)在 区间I内的一个界。如果不存在这样的常数,则称 函数yf (x)在区间I内是无界的。 有界函数的图像在区间I内被限制在yM和yM 两条直线之间。,函数的性质,1、有界性,2、奇偶性,定义1-3 设函数yf (x)的定义域 D关于原点对称 (即若 ,则必定 )。 如果对任意的 ,均有 f (x)f (x) 则称函数yf (x)是偶函数; 如果对任意的 ,均有 f (x)f (x) 则称函数yf (x)是奇函数。,奇函数的图像关于原点对称。 偶函数的图像关于 y 轴对称。 学过的函数中,奇函数有yx、ysinx、ytanx等, 偶函数有yx2、ycosx等。 而y2x和ylgx既不是奇函数,也不是偶函数。 研究函数奇偶性的好处在于,如果一个函数是奇函数(或偶函数),则只要研究自变量大于等于零的一半就可以推知全貌。,周期函数的周期通常是指它的最小正周期。 例如,ysin x和ytan x都是周期函数, 前者的周期是2,后者的周期是。,3、周期性,定义1-4 设函数yf (x)的定义域为D。如果存在常数 T0,使得对任一 ,都有 ,且等式 一定成立;则称函数yf (x)是周期函数,T 称为该 函数的周期。,定义1-5 设函数yf (x)在区间I内有定义。如果对 任意的 ,且 x1x2 时,均有 f (x1)f (x2) 则称函数yf (x)在区间I内是单调增加的。 如果在同样条件下恒有 f (x1)f (x2) 则称函数yf(x)在区间I内是单调减少的。 单调增加或单调减少的函数统称为单调函数。,4、单调性,定义1-6 设函数yf (x)的定义域为D,值域为Rf 。若对 每一个 ,都有惟一确定的 满足f (x)y, 那么就可以把y作为自变量,而x是y的函数。 这个新的函数称为yf (x)的反函数,记作 yf 1(x) 这个函数的定义域为Rf ,值域为D。 相应地,函数yf (x)称为直接函数。,1.1.4 反函数,显然,如果把反函数的图像和它的直接函数的图像画在同一个 坐标系中,则它们的图形是关于直线 yx 为对称的。,例 求 ylog3(2x3) 的反函数。,若函数yf (x)在某个定义区间上单调增加 或单调减少,则它在该区间上必定存在反函数。,实际上,并不是任何函数都有反函数的。 那么,什么样的函数存在反函数呢?,解: 从方程 ylog3(2x3) 中解出x为,则所求反函数为,对于函数ysinx,如果令xt ,并将它代入 ysinx ,就可以得到函数ysint 。 可以看成由ysinx和xt复合而成。,1.1.4 复合函数,定义1-7 设函数yf (u)的定义域是D1,函数u(x)的 定义域是D2,当x在的定义域D2或其中一部分取值时, u(x)的函数值均在yf (u)的定义域D1内。对于这样 取定的x的值,通过u有确定的值y与之对应,从而可以 得到一个以x为自变量, y为因变量的函数,这个函数 称为由函数yf(u)及u(x)复合而成的复合函数,记作 yf (x) 而u称为中间变量。,复合函数,复合函数的复合过程 u(x) yf (u) yf (x),中间变量,关于复合函数,需要说明一点: 不是任何两个函数都可以复合成一个函数的。 例如,y=arcsinu与u=x2+8就不能复合成一个函数。 因为由函数u=x2+8确定的u的值域是8,+),不在 函数y=arcsinu的定义域内。 因此,求复合函数的定义域时,要考虑构成复合函数的所有基本初等函数都有意义。,解:,是由 和 复合而成的,是由 和 复合而成的,是由 和 复合而成的,是由 、 和 复合而成的,例 指出下列各函数的复合过程 (1)T ln(tan) (2) (3) (4),1.1.5 初等函数 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数 和反三角函数6类是最常见、最基本的函数,这些函 数称为基本初等函数。 基本初等函数是构建复杂函数的基础。,(2)幂函数,(3)指数函数,(4)对数函数,对数函数与指数函数互为反函数.,(5)三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,它们均为周期函数,sinx和cosx有界。其余三角函数无界。 sinx,tanx,cscx为奇函数。cosx,cotx,secx为偶函数。,(6)反三角函数,arcsinx,arctanx是单调递增的,crccosx,crccotx是单调递 减的。它们都是有界函数。,由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运 算所构成并能用一个式子表示的函数,称为初等函数。 例如, y sin3x 、 u sin(x) (、是常数) 都是初等函数。 凡不能用一个式子表示的函数都不是初等函数。 一般情况下,分段函数不是初等函数.含有绝对值符号的函数一 般也不是初等函数。,1.2 极 限,本节内容 1.2.1 数列的极限 1.2.2 函数的极限 1.2.3 极限的性质,研究函数变化的基本工具是极限的方法。极限的概念是微积 分学中最基本的概念,后面将要介绍的函数的连续性、导数、 定积分等概念都要以极限为基础。 两千多年前,我国古人就有了初步的极限概念。公元263年, 我国数学家刘徽根据朴素的极限思想先后计算了圆内接正6边 形、正12边形、正24边形、正48边形、的面积,他算出 的圆周率是3.14(3072边形 ),这已经是很好的近似值了,非常 了不起。,数列是按照某种法则产生的一系列数的依次排列。 无穷数列 x1, x2, xn,(常简记为xn)可以看作自 变量为正整数n的函数,即xnf (n) (整标函数)。 因此,数列的极限是一类特殊函数的极限。 定义1-9 对数列xn ,如果当n无限增大时, xn无限接 近一个常数a ,那么a 就称为数列xn的极限,或称数 列xn收敛于a ,记为,1.2.1 数列的极限,或 xna(n),如果数列没有极限,就说数列是发散的。 如果一个数列有极限,则此极限是惟一的。 定义1-9中“如果当n无限增大时,数列xn无限接 近一个常数a”的实质是:随着n的无限增大,xn与 常数a的距离| xn a|可以任意小,即要多小都可以 有多小(不排除数列的某些项取常数a的可能)。,例 根据极限的定义,判断下列各数列是否有极限, 对于收敛的数列指出其极限: (1)1,2,3,n, (2) (3)1,1,1,(1)n1, (4) (5),解:将上述数列逐项在数轴上表示出来,如下列图所示 (1)1,2,3,n, (2) (3)1,1,1,(1)n1, (4) (5),1、自变量趋向无穷大时函数的极限 对函数 ,当|x|无限增大时,对应的函数值y 无限接近常数0(参看右图), 这时就称 以0为极限。,1.2.2 函数的极限,定义1-10 设函数yf(x)对绝对值无论怎样大的自变量 都有定义,如果当|x|无限增大(即x )时,函数 f (x)无限接近某个常数A ,那么A就称为函数f (x)当x趋 向无穷大时的极限,记为,如果 不存在,则函数f (x)当x时没有极限。,或 f (x) A (x),定义1-10中“如果当|x|无限增大(即x)时, 函数f (x)无限接近某个常数A”的实质是:随着 x 的绝对值的无限增大,函数f(x)与常数A的距离 |f(x)A|可以任意小,即要多小都可以有多小 (不排除f (x)取常数A的可能)。,如果在定义1-10中限制x只取正值或者只取负值, 即有 称函数f (x)当x趋向正无穷大(或负无穷大)时的极限为A。,或,对于函数 ,其图像如下图所示。 由于 ,并且 两个极限相等,从而,对于函数yarctan x ,由于 两个极限不相等,从而 不存在 对于函数y2x ,由于 其中一个极限不存在,从而 不存在,通过对以上3个函数的分析说明, 只有当 和 都存在并且相等时, 才存在并与前两者相等。,2、自变量趋向有限值时函数的极限,或 f (x)A (当xx0 ),定义1-11 设函数yf (x)在点x0的某个空心邻域 有定义,如果x无限接近有限数 x0 ,即xx0(xx0)时, 函数f (x)无限接近某个常数A,那么就称A为函数f (x) 当xx0时的极限,记为,x无限接近有限数x0而不要求等于x0,意味着当xx0 时, f (x)的变化趋势与f (x) 在x0是否有定义或如何 定义无关。前者是f (x)在x0附近的动态描述,后者是 f (x)在 x0的静态说明。,左极限 右极限 只有当 和 都存在并且 相等时, 才存在并与前两者相等。,左极限、右极限,实例1 考察极限 (c为常数)。 因为函数yc在R上都等于常数c ,所以 实例2 考察极限 。 当 时,tanx ; 当 时,tanx 。 故 不存在。,故,实例3 考察极限 ,其中 由于 和 都存在并且都等于2, 所以 存在且等于2。,但是, f(1)1,所以 。,练习1,解,练习2,解,解,练习3,练习题 1, 2 ,3 说明了下列几种重要现象:,(1) 函数 f (x) 在 x0 处极限存在,但函数 f (x) 在 x0 处可以没有定义(如练习1) .,(2) 函数 f (x) 在 x0 处虽然有定义,且在 x0 处有 极限, 但两者不等,,(3) 函数 f (x) 在 x0 处有定义,也有极限且两者 相等 .(如练习2),1.2.3 极限的性质,1.4 无穷小量与无穷大量,本节内容 1.4.1 无穷小量 1.4.2 无穷小量的比较 1.4.3 无穷大量,1.4.1 无穷小量 定义1-12 如果在x的某种趋向下,函数f (x)以零为极 限,则称在x的这种趋向下,函数f (x)是无穷小量, 简称无穷小。 例如,数列 的极限是零,故 (当n时) 是无穷小量。当x时,函数 是无穷小量。 当x0时,sinx和 lg(1x)也都是无穷小量。,定理1 有限个无穷小量的和也是无穷小量。 例如,当x0时,x3和sinx都是无穷小量, 所以x3sinx也是无穷小量。 无限个无穷小量的和就不一定是无穷小量了。,定理2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 例如,当x2时,(x24)和ln(x1)都是无穷小量, 所以(x24)ln(x1)也是无穷小量。,无穷小量的性质,定理3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例如,当x0时,函数x是无穷小量,而 是 有界函数,所以 也是无穷小量,定理4 常数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例如,当x时,2-x是无穷小量, 所以3(2-x)也是无穷小量。,1.4.2 无穷小量的比较,已经知道,两个无穷小的和、差、积都是无穷小, 但是两个无穷小的商将有什么样的情况呢?,定义:,无穷小量的比较,定义1-13 如果在x的某种趋向下,函数 f (x)的绝对值 可以任意地大,则称函数是在的这种趋向下的无穷大 量,简称无穷大。 例如,当x时函数x2是无穷大量,当x0时函数 1/x是无穷大量,当x时函数ln(1x)是无穷大量。,1.4.3 无穷大量,在自变量的变化过程中为无穷大量的函数f (x) ,按极 限的定义其极限是不存在的。但是为了便于叙述函数 的这一性态,可以这样说:函数的极限是无穷大量, 并记做 lim f (x) 类似地,还有 lim f (x) lim f (x) ,这样一来,相关的极限就可以方便地表达了。 前面的几个例子可以写成 显然,无穷小量和无穷大量有这样的关系: 无穷大量的倒数是无穷小量 恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量,本节内容 1.3.1 极限的运算法则 1.3.2 两个重要极限,1.3 极限的运算,1.3.1、极限的运算法则 设 lim f (x)A , lim g(x)B ,则 (1)limf(x)g(x) limf(x)limg(x) =AB (2)limf(x)g(x) limf(x)limg(x) AB 或 limf (x)nlimf (x)n An (n为正整数) (3)limCf(x) Climf(x) CA (C为常数),(4) (B0),或,limf(x)g(x)limf(x) limg(x) =AB, limf(x) 0,利用上述极限运算法则求下列函数极限,例1,解:,解:因为分母,所以原式,例2 求,解:,故由恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量得,例3,但因,时,。,,故,解:,型,分式函数,(1)分母0,直接求解。,(2)分母=0,分子0,结果为。,分子=0,分子分母分别有理化,消去使得分 子分母趋于零的因子;然后求解。,型,练: 求下列函数极限,解:,解:,解:,例4,解: 将分子分母同除以 得,型,练习 求下列极限: (1) (2) (3),(2),(1),解:,(3),通过本题的解答可以得到如下的一般结果: 当a0,b00时,有,1.3.2、两个重要极限 在微分学中有两个重要的极限公式,它们在计算有 关极限时很有用。,第一个重要极限:,这个结果可以作为公式使用,解:原式=,例 1 计算,即当x0时,x:tanx,解,例 2,这个结果可以作为公式使用,即当x0时,1-cosx:x2,解,例 3,也可以按如下格式进行:,第二个重要极限:,(1)此极限主要解决1型幂指函数的极限,说明:,(2)它可以形象的表示为:(其中表示相同的 变量或表达式),或,例2 证明:,例1 求,解:原式=,证明:,即当x0时,ln(1+x):x,例3,解 方法一 令 u = -x, 因为 x 0 时 u 0,,所以,方法二 掌握熟练后可不设新变量,例 4,解 因为,所以令 u = x - 3 ,当 x 时 u ,,因此,练习 求下列极限,利用无穷小量计算极限,等价无穷小替换定理:,证:,本定理说,在求商式或乘积的极限时,分子或分母有无穷小 量的因子时,可以用和它等价的无穷小代换这种等价无穷小代换 常使计算简化。但必须有乘、除式才可以使用等价无穷小代换, 而诸如对加式、减式或幂中等方面的函数中出现的无穷小的求极 限过程一般不能用等价无穷小代换。,常用的等价无穷小量,当x0时, x:sinx; x: tanx; x: arcsinx; x: arctanx; x: ln(1+x) x:ex-1 , 1-cosx:x2,例1 求,例2 求,解 当x0时,sin2x:2x,ln(1+x):x,所以,若直接用 x 代替 tanx 及 sinx,,因为,虽然 tanx x,sinx x ,但 tanx-sinx 0 则不成立,因此,这里用 0 代替 tanx sinx 是错误的。,是错误的。,则,例3,例3,解:原式=,本节内容 1.5.1 函数的连续性 1.5.2 连续函数的运算 1.5.3 初等函数的连续性 1.5.4 间断点 1.5.5 闭区间上连续函数的性质,1.5 函数的连续性,连续性是函数的重要性质之一,是相对间断而言的,它反 映了许多自然现象的一个共同特性。例如,气温的变化、动植 物的生长以及空气的流动等,都是随着时间在连续不断地变化 着。这些现象反映在数学上,就是函数的连续性。,1.5.1 函数的连续性,从下图所表示的函数图象看,函数在点x1 、 x2和x3是间断的, 在其余的点是连续的。,定义1 设函数f (x)在x0的一个邻域内有定义,如果 函数f (x)当xx0时的极限存在,且等于它在点x0处的 函数值f (x0),即,那么就称函数f (x)在点x0处连续,称x0为函数的连续点。,根据定义可以得知:函数在点x0处连续的充分且必要的条件是:,f (x0)存在; 存在; 两者相等,记 x = x - x0,且称之为自变量 x 的改变量或增量,,记 y = f (x) - f (x0) 或 y = f (x0+ x) - f (x) 称为函数 y = f (x) 在 x0 处的增量。,那么函数 y = f (x) 在 x0 处连续也可以叙述为:,定义 2 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内有定义,,如果,则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续。,N,若函数 y = f (x) 在点 x0 处有:,则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续。,由此可知,函数 y = f (x) 在 x0 处连续的充要条件 可表示为:,即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续,例 1,证 因为,且 f (0) = 1,即 f (x) 在 x = 0 处左,右连续, 所以它在 x = 0 处连续 。,定理1 若函数f (x)和g (x)均在x0处连续,则f (x) +g (x) ,f (x)-g(x), f (x) g (x)在该点亦均连续,,又若 g(x0) 0,,定理3 若函数y=f (x)在某区间上单值、单调且连续,则它的反函数 x= f -1(y)在对应的区间上也单值、单调且连续,且它们的单调性相 同,即它们同为递增或同为递减.,定理4 初等函数在其定义区间内是连续的.,定理2 设函数y = f (u)在u0 处连续,函数u = (x)在x0处连续, 且u0 = (x0),则复合函数f (x)在x0 处连续 .,1.5.2 连续函数的运算,例2 求极限,解:,复合而成的。,而 ,且lnu 在 u=e处连续。,故,1、 求 2、 求 3、 求,(3)解:,练习,解:,4 求,定义 设函数y = f (x)在x0的一个邻域有定义(在x

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