函数、极限、连续(5).pptVIP

高等数学,（上）,第1章 函数、极限、连续,本章主要内容,1.1 函 数,本节内容 函数的概念及其性质 反函数和复合函数 初等函数,区间与邻域 区间 数学中，某些指定的数集在一起就成为一个数集。 显然，数集是关于数的集合。 常用的数集及其代号是：自然数集N （包括0和所有正整数）、整数集Z、有理数集Q和实数集R。 其中，涉及最多的是实数集R。,1.1.1 函数的概念,为点 的邻域，记作 ；点 和数分别称为,这个邻域的中心和半径。,数集 称为点 的空心邻域，记作 。,邻域和空心邻域在数轴上的表示见下图。,邻域,设 与是两个实数，且0，数集 称,定义1-1 设x和y是两个变量，D是R的非空子集，如 果对于每一个数xD，变量y按照某种对应法则有 惟一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作 yf (x) 并称变量x为该函数的自变量，变量y为因变量， f 是函数中表示对应法则的记号，D是函数的定义域， 也可以记作D(f )，数集 Wy|yf (x), xD 为函数的值域，也可以记作 Rf 或 f (D)。,函数,函数的表示方法有解析法（也称公式法）、图像法、 表格法等等。,还需要指出，函数可以含有一个或多个自变量。 含有一个自变量的函数称为一元函数。 含有多个自变量的函数称为多元函数。,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的 函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则 叫多值函数,函数的定义域,函数的定义域就是指使函数有意义的自变量x的取值范围。 判断函数有意义的方法有下列几种：,分式的分母不等于零；,偶次方根式中，被开方式大于等于零；,含有对数的式子，真数式大于零；,反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；,分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；,若已知y = f ( x )的定义域是a,b,求 y= f (x) 的定义域， 方法是解不等式组 a(x) b,练习：求下列函数的定义域,例1 求下列函数的定义域,定义1-2 设函数yf (x)在区间I内有定义。如果存在 正数M，使得对任意的x，均有 | f (x) | M 则称函数yf(x)在区间I内是有界的。M为yf (x)在 区间I内的一个界。如果不存在这样的常数，则称 函数yf (x)在区间I内是无界的。 有界函数的图像在区间I内被限制在yM和yM 两条直线之间。,函数的性质,1、有界性,2、奇偶性,定义1-3 设函数yf (x)的定义域 D关于原点对称 （即若 ，则必定 ）。 如果对任意的 ，均有 f (x)f (x) 则称函数yf (x)是偶函数； 如果对任意的 ，均有 f (x)f (x) 则称函数yf (x)是奇函数。,奇函数的图像关于原点对称。 偶函数的图像关于 y 轴对称。 学过的函数中，奇函数有yx、ysinx、ytanx等， 偶函数有yx2、ycosx等。 而y2x和ylgx既不是奇函数，也不是偶函数。 研究函数奇偶性的好处在于，如果一个函数是奇函数（或偶函数），则只要研究自变量大于等于零的一半就可以推知全貌。,周期函数的周期通常是指它的最小正周期。 例如，ysin x和ytan x都是周期函数， 前者的周期是2，后者的周期是。,3、周期性,定义1-4 设函数yf (x)的定义域为D。如果存在常数 T0，使得对任一 ，都有 ，且等式 一定成立；则称函数yf (x)是周期函数，T 称为该 函数的周期。,定义1-5 设函数yf (x)在区间I内有定义。如果对 任意的 ，且 x1x2 时，均有 f (x1)f (x2) 则称函数yf (x)在区间I内是单调增加的。 如果在同样条件下恒有 f (x1)f (x2) 则称函数yf(x)在区间I内是单调减少的。 单调增加或单调减少的函数统称为单调函数。,4、单调性,定义1-6 设函数yf (x)的定义域为D，值域为Rf 。若对 每一个 ，都有惟一确定的 满足f (x)y， 那么就可以把y作为自变量，而x是y的函数。 这个新的函数称为yf (x)的反函数，记作 yf 1(x) 这个函数的定义域为Rf ，值域为D。 相应地，函数yf (x)称为直接函数。,1.1.4 反函数,显然，如果把反函数的图像和它的直接函数的图像画在同一个 坐标系中，则它们的图形是关于直线 yx 为对称的。,例 求 ylog3(2x3) 的反函数。,若函数yf (x)在某个定义区间上单调增加 或单调减少，则它在该区间上必定存在反函数。,实际上，并不是任何函数都有反函数的。 那么，什么样的函数存在反函数呢？,解： 从方程 ylog3(2x3) 中解出x为,则所求反函数为,对于函数ysinx，如果令xt ，并将它代入 ysinx ，就可以得到函数ysint 。 可以看成由ysinx和xt复合而成。,1.1.4 复合函数,定义1-7 设函数yf (u)的定义域是D1，函数u(x)的 定义域是D2，当x在的定义域D2或其中一部分取值时， u(x)的函数值均在yf (u)的定义域D1内。对于这样 取定的x的值，通过u有确定的值y与之对应，从而可以 得到一个以x为自变量， y为因变量的函数，这个函数 称为由函数yf(u)及u(x)复合而成的复合函数，记作 yf (x) 而u称为中间变量。,复合函数,复合函数的复合过程 u(x) yf (u) yf (x),中间变量,关于复合函数，需要说明一点： 不是任何两个函数都可以复合成一个函数的。 例如，y=arcsinu与u=x2+8就不能复合成一个函数。 因为由函数u=x2+8确定的u的值域是8,+)，不在 函数y=arcsinu的定义域内。 因此，求复合函数的定义域时，要考虑构成复合函数的所有基本初等函数都有意义。,解：,是由 和 复合而成的,是由 和 复合而成的,是由 和 复合而成的,是由 、 和 复合而成的,例 指出下列各函数的复合过程 （1）T ln(tan) （2） （3） （4）,1.1.5 初等函数 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数 和反三角函数6类是最常见、最基本的函数，这些函 数称为基本初等函数。 基本初等函数是构建复杂函数的基础。,（2）幂函数,（3）指数函数,（4）对数函数,对数函数与指数函数互为反函数.,(5)三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,它们均为周期函数，sinx和cosx有界。其余三角函数无界。 sinx，tanx，cscx为奇函数。cosx,cotx,secx为偶函数。,（6）反三角函数,arcsinx,arctanx是单调递增的,crccosx,crccotx是单调递 减的。它们都是有界函数。,由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运 算所构成并能用一个式子表示的函数，称为初等函数。 例如， y sin3x 、 u sin(x) （、是常数） 都是初等函数。 凡不能用一个式子表示的函数都不是初等函数。 一般情况下，分段函数不是初等函数.含有绝对值符号的函数一 般也不是初等函数。,1.2 极 限,本节内容 1.2.1 数列的极限 1.2.2 函数的极限 1.2.3 极限的性质,研究函数变化的基本工具是极限的方法。极限的概念是微积 分学中最基本的概念，后面将要介绍的函数的连续性、导数、 定积分等概念都要以极限为基础。 两千多年前，我国古人就有了初步的极限概念。公元263年， 我国数学家刘徽根据朴素的极限思想先后计算了圆内接正6边 形、正12边形、正24边形、正48边形、的面积，他算出 的圆周率是3.14（3072边形 ），这已经是很好的近似值了，非常 了不起。,数列是按照某种法则产生的一系列数的依次排列。 无穷数列 x1, x2, xn,（常简记为xn）可以看作自 变量为正整数n的函数，即xnf (n) （整标函数）。 因此，数列的极限是一类特殊函数的极限。 定义1-9 对数列xn ，如果当n无限增大时， xn无限接 近一个常数a ，那么a 就称为数列xn的极限，或称数 列xn收敛于a ，记为,1.2.1 数列的极限,或 xna(n),如果数列没有极限，就说数列是发散的。 如果一个数列有极限，则此极限是惟一的。 定义1-9中“如果当n无限增大时，数列xn无限接 近一个常数a”的实质是：随着n的无限增大，xn与 常数a的距离| xn a|可以任意小，即要多小都可以 有多小（不排除数列的某些项取常数a的可能）。,例 根据极限的定义，判断下列各数列是否有极限， 对于收敛的数列指出其极限： （1）1,2,3,n, （2） （3）1,1,1,(1)n1, （4） （5）,解：将上述数列逐项在数轴上表示出来，如下列图所示 （1）1,2,3,n, （2） （3）1,1,1,(1)n1, （4） （5）,1、自变量趋向无穷大时函数的极限 对函数 ，当|x|无限增大时，对应的函数值y 无限接近常数0（参看右图）， 这时就称 以0为极限。,1.2.2 函数的极限,定义1-10 设函数yf(x)对绝对值无论怎样大的自变量 都有定义，如果当|x|无限增大（即x ）时，函数 f (x)无限接近某个常数A ，那么A就称为函数f (x)当x趋 向无穷大时的极限，记为,如果 不存在，则函数f (x)当x时没有极限。,或 f (x) A (x),定义1-10中“如果当|x|无限增大（即x）时， 函数f (x)无限接近某个常数A”的实质是：随着 x 的绝对值的无限增大，函数f(x)与常数A的距离 |f(x)A|可以任意小，即要多小都可以有多小 （不排除f (x)取常数A的可能）。,如果在定义1-10中限制x只取正值或者只取负值， 即有 称函数f (x)当x趋向正无穷大（或负无穷大）时的极限为A。,或,对于函数 ，其图像如下图所示。 由于 ，并且 两个极限相等，从而,对于函数yarctan x ，由于 两个极限不相等，从而 不存在 对于函数y2x ，由于 其中一个极限不存在，从而 不存在,通过对以上3个函数的分析说明， 只有当 和 都存在并且相等时， 才存在并与前两者相等。,2、自变量趋向有限值时函数的极限,或 f (x)A (当xx0 ),定义1-11 设函数yf (x)在点x0的某个空心邻域 有定义，如果x无限接近有限数 x0 ，即xx0(xx0)时， 函数f (x)无限接近某个常数A，那么就称A为函数f (x) 当xx0时的极限，记为,x无限接近有限数x0而不要求等于x0，意味着当xx0 时， f (x)的变化趋势与f (x) 在x0是否有定义或如何 定义无关。前者是f (x)在x0附近的动态描述，后者是 f (x)在 x0的静态说明。,左极限 右极限 只有当 和 都存在并且 相等时， 才存在并与前两者相等。,左极限、右极限,实例1 考察极限 （c为常数）。 因为函数yc在R上都等于常数c ，所以 实例2 考察极限 。 当 时，tanx ； 当 时，tanx 。 故 不存在。,故,实例3 考察极限 ，其中 由于 和 都存在并且都等于2， 所以 存在且等于2。,但是， f(1)1，所以 。,练习1,解,练习2,解,解,练习3,练习题 1, 2 ,3 说明了下列几种重要现象：,(1) 函数 f (x) 在 x0 处极限存在，但函数 f (x) 在 x0 处可以没有定义(如练习1) .,(2) 函数 f (x) 在 x0 处虽然有定义，且在 x0 处有 极限， 但两者不等，,(3) 函数 f (x) 在 x0 处有定义，也有极限且两者 相等 .(如练习2),1.2.3 极限的性质,1.4 无穷小量与无穷大量,本节内容 1.4.1 无穷小量 1.4.2 无穷小量的比较 1.4.3 无穷大量,1.4.1 无穷小量 定义1-12 如果在x的某种趋向下，函数f (x)以零为极 限，则称在x的这种趋向下，函数f (x)是无穷小量， 简称无穷小。 例如，数列 的极限是零，故 （当n时） 是无穷小量。当x时，函数 是无穷小量。 当x0时，sinx和 lg(1x)也都是无穷小量。,定理1 有限个无穷小量的和也是无穷小量。 例如，当x0时，x3和sinx都是无穷小量， 所以x3sinx也是无穷小量。 无限个无穷小量的和就不一定是无穷小量了。,定理2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x2时，(x24)和ln(x1)都是无穷小量， 所以(x24)ln(x1)也是无穷小量。,无穷小量的性质,定理3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x0时，函数x是无穷小量，而 是 有界函数，所以 也是无穷小量,定理4 常数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x时，2-x是无穷小量， 所以3（2-x）也是无穷小量。,1.4.2 无穷小量的比较,已经知道，两个无穷小的和、差、积都是无穷小， 但是两个无穷小的商将有什么样的情况呢？,定义:,无穷小量的比较,定义1-13 如果在x的某种趋向下，函数 f (x)的绝对值 可以任意地大，则称函数是在的这种趋向下的无穷大 量，简称无穷大。 例如，当x时函数x2是无穷大量，当x0时函数 1/x是无穷大量，当x时函数ln(1x)是无穷大量。,1.4.3 无穷大量,在自变量的变化过程中为无穷大量的函数f (x) ，按极 限的定义其极限是不存在的。但是为了便于叙述函数 的这一性态，可以这样说：函数的极限是无穷大量， 并记做 lim f (x) 类似地，还有 lim f (x) lim f (x) ,这样一来，相关的极限就可以方便地表达了。 前面的几个例子可以写成 显然，无穷小量和无穷大量有这样的关系： 无穷大量的倒数是无穷小量 恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量,本节内容 1.3.1 极限的运算法则 1.3.2 两个重要极限,1.3 极限的运算,1.3.1、极限的运算法则 设 lim f (x)A ， lim g(x)B ，则 （1）limf(x)g(x) limf(x)limg(x) =AB （2）limf(x)g(x) limf(x)limg(x) AB 或 limf (x)nlimf (x)n An （n为正整数） （3）limCf(x) Climf(x) CA （C为常数）,（4） （B0）,或,limf(x)g(x)limf(x) limg(x) =AB, limf(x) 0,利用上述极限运算法则求下列函数极限,例1,解：,解：因为分母,所以原式,例2 求,解：,故由恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量得,例3,但因,时,。,，故,解：,型,分式函数,（1）分母0，直接求解。,（2）分母=0,分子0，结果为。,分子=0，分子分母分别有理化，消去使得分 子分母趋于零的因子；然后求解。,型,练： 求下列函数极限,解：,解：,解：,例4,解： 将分子分母同除以 得,型,练习 求下列极限： （1） （2） （3）,（2）,（1）,解:,（3）,通过本题的解答可以得到如下的一般结果： 当a0，b00时，有,1.3.2、两个重要极限 在微分学中有两个重要的极限公式，它们在计算有 关极限时很有用。,第一个重要极限：,这个结果可以作为公式使用,解：原式=,例 1 计算,即当x0时，x:tanx,解,例 2,这个结果可以作为公式使用,即当x0时，1-cosx:x2,解,例 3,也可以按如下格式进行：,第二个重要极限：,（1）此极限主要解决1型幂指函数的极限,说明：,（2）它可以形象的表示为：（其中表示相同的 变量或表达式）,或,例2 证明：,例1 求,解：原式=,证明：,即当x0时，ln(1+x):x,例3,解 方法一 令 u = -x， 因为 x 0 时 u 0，,所以,方法二 掌握熟练后可不设新变量,例 4,解 因为,所以令 u = x - 3 ，当 x 时 u ，,因此,练习 求下列极限,利用无穷小量计算极限,等价无穷小替换定理：,证：,本定理说，在求商式或乘积的极限时，分子或分母有无穷小 量的因子时，可以用和它等价的无穷小代换这种等价无穷小代换 常使计算简化。但必须有乘、除式才可以使用等价无穷小代换， 而诸如对加式、减式或幂中等方面的函数中出现的无穷小的求极 限过程一般不能用等价无穷小代换。,常用的等价无穷小量,当x0时， x:sinx; x: tanx; x: arcsinx; x: arctanx; x: ln(1+x) x:ex-1 , 1-cosx:x2,例1 求,例2 求,解 当x0时，sin2x:2x，ln(1+x):x，所以,若直接用 x 代替 tanx 及 sinx，,因为，虽然 tanx x，sinx x ，但 tanx-sinx 0 则不成立，因此，这里用 0 代替 tanx sinx 是错误的。,是错误的。,则,例3,例3,解：原式=,本节内容 1.5.1 函数的连续性 1.5.2 连续函数的运算 1.5.3 初等函数的连续性 1.5.4 间断点 1.5.5 闭区间上连续函数的性质,1.5 函数的连续性,连续性是函数的重要性质之一，是相对间断而言的，它反 映了许多自然现象的一个共同特性。例如，气温的变化、动植 物的生长以及空气的流动等，都是随着时间在连续不断地变化 着。这些现象反映在数学上，就是函数的连续性。,1.5.1 函数的连续性,从下图所表示的函数图象看，函数在点x1 、 x2和x3是间断的， 在其余的点是连续的。,定义1 设函数f (x)在x0的一个邻域内有定义，如果 函数f (x)当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的 函数值f (x0)，即,那么就称函数f (x)在点x0处连续，称x0为函数的连续点。,根据定义可以得知：函数在点x0处连续的充分且必要的条件是：,f (x0)存在； 存在； 两者相等,记 x = x - x0，且称之为自变量 x 的改变量或增量，,记 y = f (x) - f (x0) 或 y = f (x0+ x) - f (x) 称为函数 y = f (x) 在 x0 处的增量。,那么函数 y = f (x) 在 x0 处连续也可以叙述为：,定义 2 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内有定义，,如果,则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续。,N,若函数 y = f (x) 在点 x0 处有：,则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续。,由此可知，函数 y = f (x) 在 x0 处连续的充要条件 可表示为：,即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续,例 1,证 因为,且 f (0) = 1，即 f (x) 在 x = 0 处左，右连续， 所以它在 x = 0 处连续 。,定理1 若函数f (x)和g (x)均在x0处连续，则f (x) +g (x) ，f (x)-g(x)， f (x) g (x)在该点亦均连续，,又若 g(x0) 0，,定理3 若函数y=f (x)在某区间上单值、单调且连续，则它的反函数 x= f -1(y)在对应的区间上也单值、单调且连续，且它们的单调性相 同，即它们同为递增或同为递减.,定理4 初等函数在其定义区间内是连续的.,定理2 设函数y = f (u)在u0 处连续，函数u = (x)在x0处连续， 且u0 = (x0)，则复合函数f (x)在x0 处连续 .,1.5.2 连续函数的运算,例2 求极限,解：,复合而成的。,而 ，且lnu 在 u=e处连续。,故,1、 求 2、 求 3、 求,（3）解：,练习,解：,4 求,定义 设函数y = f (x)在x0的一个邻域有定义(在x