函数、极限、连续(3).ppt

1,引 言,一、什么是高等数学 ?,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学, 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,2,哪些主要的科学问题呢?,有四种主要类型的问题.,Archimedes,3,第一类问题,已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。,4,困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。,第一类问题,5,求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。,第二类问题,6,第二类问题,困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。,7,第三类问题,求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。,8,困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。,第三类问题,9,第四类问题,求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。,10,困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。 穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。,第四类问题,11,1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微积分学: 一元微积分,3. 向量代数与空间解析几何,4. 无穷级数,5. 常微分方程,主要内容,多元微积分,12,二、如何学习高等数学 ?,1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.,2. 学数学最好的方式是做数学.,聪明在于学习 , 天才在于积累 .,学而优则用 , 学而优则创 .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.,一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .,华罗庚,1 函数、极限与连续,1.1 函数 1.2 初等函数 1.3 极限概念 1.4 极限的计算 1.5 无穷小量与无穷大量 1.6 函数的连续性,1.1 函数,1.1.1 区间及邻域 1.1.2 函数的定义 1.1.3 医学中常用的函数表示法 1.1.4 函数的性质,1.1.1 区间及邻域,区间 (interval),开区间,a,b,闭区间,a,b,半开半闭区间 (a,b、a,b),以上区间统称为有限区间,无限区间 ( P.1自学 ),邻域,(neighborhood),邻域是一种特殊的区间。,点a的邻域,a,a -,a +,点a的空心邻域,a,a -,a +,右邻域 (a , a +)，左邻域 (a -, a),1.1.2 函数的定义 ( function),设在某变化过程中有两个变量 x、y， 如果对于 x 在某个范围D内的每一个确定的值, 按照某个对应法则 f ，y 都有（唯一）确定的值 与它对应，则称变量 y 是确定在D上的 x 的函数。,定义1.1,x ： 自变量 x的取值范围D： 定义域 y ： 因变量(函数变量) 函数值 y的取值范围： 值域，记为 f(D),(function),记为： y = f (x)，xD,1. 决定一个函数的因素有哪些？ 2. 如何确定函数的定义域？,1.1.3 医学中常用的函数表示法,列表法 用表格列示出x与y的对应关系。,图像法 以数对(x,y)为点的坐标描绘出能反映x,解析法 用等式表示出x与y的关系。,优点：便于查出函数值。,与y的对应关系的曲线。,优点：容易观察函数的变化趋势。,优点：便于从理论上对函数进行定性,研究与定量分析。,医学和物理学中常用的分段函数：,例1.1.1,符号函数,x,y,o,-1,1,例1.1.2,脉冲函数,x,o,y,例1.1.3,x,y,o,1.1.4 函数的性质,奇偶性,设函数 y = f (x)，xD，D是对称于原点的数集 。若对D上任何 x ， 如果 f (x) = f (x)，则称 y = f (x) 为偶函数； 如果 f (x) =f (x)，则称 y = f (x) 为奇函数。 偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称。,单调性,设函数 y = f (x)，xD。若对于D内任意两个 x1， x2， 当 x1 x2 时，总有 f (x1) f (x2)，则称函数 y = f (x) 是D上的单调递增函数； 当 x1 x2 时，总有 f (x1) f (x2)，则称函数 y = f (x) 是D上的单调递减函数。,递增函数的图像一般是上升的，递减函数的图像一般是下降的。,周期性,设函数 y = f (x)，xD。若存在常数 T ，使对D上任何 x ，都有 f (x + T) = f (x) 则称 y = f (x) 为周期函数。并称 T 为 y = f (x) 的一个周期。 若在周期函数的所有周期中有一个最小正常数，则称其为基本周期。,有界性,设函数 y = f (x)，xD。若存在正数 M ，使对D上任何 x ，都有 f (x) M 则称 f (x) 在 D 上有界，并称 f (x) 是 D 上的有界函数。 否则，称函数 f (x) 在 D 上无界。 有界函数的图像必落在直线 y = M 与 y = -M 之间的带形区域内。,1. 结论 “函数 y=3x+5 是无界函数” 正确否? 2. 结论 “函数 y=cosx 不是单调函数” 正确否？ 3. 考察函数y=1/x 在 1, +) 的单调性和有界性。,26,且,证明,证: 令,则,由,消去,得,时,其中,a, b, c 为常数,且,为奇函数 .,为奇函数 .,1. 设,27,2 . 设函数,的图形与,均对称, 求证,是周期函数.,证:,由,的对称性知,于是,故,是周期函数 ,周期为,1.2 初等函数,1.2.1 基本初等函数 1.2.2 复合函数 1.2.3 反函数 1.2.4 隐函数 1.2.5 初等函数,1.2.1 基本初等函数,( basic elementary function ),P.6 表1.2,1.2.2 复合函数,设 y = lnu，u =1- x2。问：能否通过变量 u， 将 y 表示成以 x 为自变量的函数？,当 x(-1, 1)，能通过变量 u 将 y 表示成 x 的函数：,y = ln(1- x2), x(-1, 1),当 x(-, -11, +)时，不能通过变量 u 将 y 表示成 x 的函数。,D*,定义1.2 (复合函数),设 y 是 u 的函数 y = f (u)， u 是 x 的函数 u =(x)。D* 表示 u =(x) 的定义域中使得函数 y = f (u) 有意义的全体 x 的非空集合。则当 xD* 时， 函数 u =(x) 所对应的 u 值使得函数 y = f (u) 有确定的值与x 相对应，从而得到一个以 x 为自变量，y 为因变量的函数，记为 y = f (x ) ， xD* 这时，称 y 为 x 的复合函数。其中，称 y = f (u)为外函数，u =(x) 为内函数，u 为中间变量。,复合函数的映射示意图,y,u,x,y = f (u),u =(x),y = f (x),说明：,复合函数还可以由多个（三个及其以上）基本初等函数经多次复合构成。 并不是任何两个函数都可以复合成有意义的复合函数。 如 y=ln(u-8) 与 u=sin x 构成的复合函数 y=ln(sinx-8) 就没有意义。,写出由 y = eu，u = -2x 复合而成的函数。,复合函数为 y = e -2x，x(-, +)。,例1.2.1,解：,例1.2.2,分解复合函数 y = lntanx。,解：,y = lnu ， u = tanx 。,例1.2.3,分解复合函数 y = sin8(8x+sinx)。,解：,y = u8 ，,u = sinv ，,v = 8x+sinx 。,1.2.3 反函数,(自学),1.2.4 隐函数,显函数,由形式 y = f (x) 表示的函数。,隐函数,由方程 F( x, y )=0 表示的函数。,如,x2 + y 2 =R2,y x +ln(xy)+sin(xy)+8=0,1.2.5 初等函数 (Elementary function),由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合步骤所构成的，能用一个解析式子表示的函数称为初等函数。,初等函数是高等数学的主要研究对象。,在高等数学中，把不是初等函数的函数统称为非初等函数。,如：有些分段函数就不是初等函数。,37,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,38,内容小结,1. 集合区间、邻域,定义域 对应规律,3. 函数的特性,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性,4. 初等函数的结构,2. 函数的定义及函数的二要素,1.3 极限概念,1.3.1 数列极限 1.3.2 函数极限 1.3.3 单侧极限,极限是一种非初等运算 极限以发展的眼光分析事物(变量)的变化规律 极限是高等数学中一种重要的研究方法,40,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要,极限思想 ., 的方法 :,1.3.1 数列极限 (limit of sequence ),数列极限的实质：考察当 n+时，数列an 的通项 an 的变化趋势。,引例,考察数列an 的变化趋势：,O x,-1,1,a1,a2,a3,a4,O x,2,1,a1,a2,a4,an,3,n,O x,-1,a2n-1,a2n,1,a3,定义1.3,已知数列 xn ，A 是某确定常数。若当数列的项数n无限增大时，数列的项xn与常数A的距离 | xn - A | 任意小，则称数列 xn 以常数A为极限，记为,或,如果一个数列的极限存在，则称该数列是收敛(converge)的；如果一个数列的极限不存在，则称该数列是发散(diverge)的。,43,定义:,自变量取正整数的函数称为数列,记作,或,称为通项(一般项) .,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,几何解释 :,即,或,则称该数列,的极限为 a ,例1. 已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,45,例2. 已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时, 就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关, 但不唯一.,不一定取最小的 N .,说明:,取,46,收敛性质,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,1. 收敛数列的极限唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,47,2. 收敛数列一定有界.,说明: 此性质反过来不一定成立 .,例如,虽有界但不收敛 .,数列,1.3.2 函数极限 (limit of function),数列 xn 可表示成函数的形式： y = f(n), nN y = f(x), xN 这时，自变量的变化趋势只有一种： x+ 而对一般的函数而言， y = f(x), xD 自变量的变化趋势有两种情形： x+ 、x- 、x; xx0,定义1.4 (x 趋于无穷大时函数 f(x)的极限),设函数 f(x) 在区间(a, +)内有定义，A 是某确定常数。若当 x+ 时， f(x) 与 A 的距离 | f(x) - A | 任意小，则称函数 f(x) 在 x+ 时以常数A为极限，记为,或,并称 x+ 时 f(x) 收敛(converge)；否则，称x+ 时 f(x) 发散(diverge)。,同理，可定义函数 f(x) 在 x- 时以常数A为极限：,50,定义 . 设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y = A 为曲线,的水平渐近线,A 为函数,51,直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,几何意义 :,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,定义1.5 (x 趋于x0时函数 f(x)的极限),设函数 f(x) 在点 x0 附近有定义，A 是某确定常数。若当自变量 x 趋于x0时， f(x) 与 A 的距离 | f(x) - A | 任意小，则称函数 f(x) 在 x 趋于x0时以常数A为极限，记为,或,并称 x 趋于x0时 f(x) 收敛；否则，称 x 趋于x0时 f(x) 发散。,53,定义1 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,几何解释:,极限存在,函数局部有界,这表明:,说明：,函数极限的实质： 考察当 xx0 时，函数 f(x) 的变化趋势： 若 xx0 时函数 f(x) 收敛，则 xx0 时 f(x) 必定趋向于某一个确定的数； 若 xx0 时函数 f(x) 发散，则 xx0 时 f(x)不趋向于任何确定的数。 “xx0 ” 表示 x 从 x0 的两侧任意接近 x0 。 但有时也需考虑 x 从 x0 的某一侧任意接近 x0 时，函数 f(x) 的极限情况。,55,例. 证明,证:,故,取,当,时 , 必有,因此,例1.3.2,不存在,不存在,不存在,不存在,x0 时，,在 1 和 1 之间无限震荡。,1.3.3 单侧极限 (one-sided limit),定义1.6 (单侧极限),设函数 f(x) 在区间 (x0 , x0+ ) 内有定义，A 是某确定常数。若 x 从 x0 的右侧趋于x0时， f(x) 与 A 的距离 | f(x) - A | 任意小，则称函数 f(x) 在 x 趋于x0时以常数A为右极限( right-sided limit )，记为,或,同理，左极限：,( left-sided limit ),例1.3.3,考察符号函数sgnx在 x=0 处的单侧极限。,解：,sgnx 的图像如右图：,o x,y,1,-1,则右极限,左极限,x0时， sgnx的变化趋势如何？ 是否有极限？可得出什么结论？,定理1.1 (单侧极限与一般极限的关系),当 xx0时，函数 f (x) 极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，即,or,61,例. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理 3 .,因为,显然,所以,不存在 .,问 a 为何值时，所给函数在 x=2 处极限存在?,例1.3.4,解：,左极限,右极限,欲使函数在x=2处有极限，必有,4+2a=20,a=8.,研究函数在 xx0 极限时，是否要考虑 f(x) 在 x=x0 时的性态？为什么？,若 f (x0+0) 和 f (x0-0) 都存在，当 x 趋于 x0 时， f (x)的极限一定存在吗？,如何利用 f (x0+0) 和 f (x0-0) 来判断当 x 趋于 x0 时， f (x)的极限不存在？,1.4 极限的计算,1.4.1 极限的四则运算法则 1.4.2 两个重要极限,1.4.1 极限的四则运算法则,具体的运算法则见P.18定理。以下面几个例子来说明极限的运算法则:,定理1.2 (极限的四则运算法则),则有,定理 . 若,定理 . 若,则有,定理 . 若,且 B0 , 则有,66,例 . 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,67,例6 . 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“ 抓大头”,原式,68,一般有如下结果：,为非负常数 ),例1.4.1,例1.4.2,= -1,例1.4.3,70,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答: 不存在 .,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,71,3. 求,解法 1,原式 =,解法 2,令,则,原式 =,72,4. 试确定常数 a 使,解 :,令,则,故,因此,1.4.2 两个重要极限,两个重要极限是极限的证明及计算中的重要内容。重要极限及其变形也是各类考试的考点。,74,圆扇形AOB的面积,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,75,当,时,注,例1.4.5,= -1,例1.4.6,=1,例1.4.4,=3,77,例. 求,解:,例. 求,解: 令,则,因此,原式,例1.4.7,79,例. 求,解: 原式 =,例. 已知圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,说明: 计算中注意利用,81,2.,证: 当,时, 设,则,82,当,则,从而有,故,说明: 此极限也可写为,时, 令,例1.4.9,例1.4.10,例1.4.8,84,例. 求,解: 原式 =,85,例. 求,解: 令,则,因此,原式,且,86,例. 求,解: 原式 =,1.5 无穷小量与无穷大量,1.5.1 无穷小量 1.5.2 无穷小量阶的比较 1.5.3 无穷大量,1.5.1 无穷小量,如果,定义1.7 (无穷小量),则称 f(x)是 xx0 时的无穷小量(infinitesimal).,说明：,类似地，可定义在自变量的其它变化情形下的无穷小量： x， xx0+ ， xx0-， 称以0为极限的数列为无穷小数列。,例1.5.1,因为,所以当 x1 时函数,x-1 为无穷小量。,因为,所以当 x 时函数 1/x,为无穷小量。,无穷小量是很小的数吗？,数零是不是无穷小量？,无穷小的性质,当 xx0 时，如果 f (x) 、g (x) 均为无穷小，则当 xx0 时，有:,f (x) g (x) 为无穷小。 推广：有限个无穷小的代数和是无穷小。,有界变量(常量、无穷小量)与无穷小的积是无穷小。,两个无穷小的和、差与积仍是无穷小。两个无穷小的商呢？,如： x 0 时，3x、x2、sinx 都是无穷小，但,91,其中 为,时的无穷小量 .,定理 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,1.5.2 无穷小量阶的比较,对无穷小量进行阶的比较是为了考察两个无穷小量趋于0的速度。,设 f (x) 、g (x) 为xx0 时的无穷小，如果,则称 xx0 时， f (x) 是比 g(x) 高阶的无穷小；,则称xx0 时， f (x) 是比 g(x) 低阶的无穷小；,记为： f(x) = o(g(x) ( xx0 ),则称xx0 时， f (x) 与 g(x) 是同阶的无穷小。,特别地，当k=1 时，称 f (x) 与 g(x) 是等价无穷小。,记为： f(x) = O(g(x) ( xx0 ),记为： f(x) g(x) ( xx0 ),94,例如 , 当,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例1.5.2,因为,所以，当 x0 时， x2 是比 3x 高阶的无穷小量,即 x2 = o(3x) (x0 ),又,则当x3时, x2-9 是与 x-3 同阶的无穷小量，,x2-9 = O(x-3) (x3 ),例1.5.3,当 x0 时， a 取何值使得,解：,要使,必须,a =2,扩展：,定理,设,且,存在，,则,在求极限中的应用：,例1.5.4,求,解：,当,时，,sinx x,故,P.24 例3,98,例1. 求,解:,原式,例2. 求,解:,1.5.2 无穷大量,定义1.8 (无穷大量),如果,则称函数变量 f (x)是,x x0时的无穷大量(infinitely great) 。,说明：,不可将无穷大()与很大的数混为一谈； 无穷大数列； 无穷大与无穷小的关系。,1.6 函数的连续性,1.6.1 连续的概念 1.6.2 函数的间断点 1.6.3 连续函数的性质与初等函数的连续性,1.6.1 连续的概念,变量的增量(increment),函数的连续性,定义1.9 (函数的连续性定义1),设y =f(x)在 x0 的某邻域内有定义。自变量的增量x = x-x0 , 函数的增量 y = f (x0+x) - f (x0)。,则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续。,(continuity of function),x0,f(x0),x0+x,f(x0+x),y,f(x),若,例1.6.1,证明 y=sinx 在点 x(-, +) 连续。,证明：,由定义1.9知, y=sinx 在任意点 x(-, +)连续，称sinx在区间(-, +)内是连续的。,类似地, y=cosx 在区间(-, +)内是连续的。,定义1.10 (函数的连续性定义2),说明：,(1) 函数 y = f (x) 在点 x0 及附近有定义；,几何意义：,定义要点：,函数曲线在 x=x0 处是“连”着的。,在求极限中的应用：,(2) 函数 y= f (x) 在点 x0 处极限存在；,(3) 函数 y= f (x) 在点 x0 处极限值等于函数值 f (x0), 即：,求连续函数的极限时, 极限符号与连续函数符号可以交换顺序。因此，只要求出函数值即可。,定义1.11 (函数的左、右连续性),设函数 y =f(x) 在区间(x0-, x0内有定义，如果 f(x0)=f(x0-0)，则称函数在点x0左连续。,同理，可定义右连续。,x,y,x0,x,y,x0,定理1.3 (连续的充分必要条件),左连续,右连续,定义1.12 (函数在区间内(上)连续),如果函数 y =f(x) 在开区间(a, b)内的每一点都连续，则称 y =f(x)在开区间(a, b)内连续。 如果函数y =f(x)在开区间(a, b)内连续，且在区间左端点a右连续，在区间右端点b左连续，则称y =f(x)在闭区间a,b上连续。,说明：,区间内(上)的连续函数的图像是一条没有间断的曲线。,1.6.2 函数的间断点,函数的间断点：,如果函数 y =f(x)在点x0不连续，则称点x0为函数 y =f(x)的间断点(point of discontinuity)。,怎样判断点x0为函数 y =f(x)的间断点：,(1) 函数在点x0是否有定义；,(2) 函数在点x0处的左、右极限均是否存在并相等；,(3) 函数在点x0处的极限值是否等于该点的函数值。,函数间断点的分类：,间断点分为两类。,第一类间断点：,设x0为函数 y =f (x) 的间断点，如果 f (x) 在间断点 x0 处的左、右极限都存在(不论 f (x) 在 x0 处是否有定义)，则称 x0 是 f (x) 的第一类间断点,x,y,x0,x,y,x0,第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点,可去间断点,跳跃间断点,x,y,x0,108,显然,为其可去间断点 .,为其跳跃间断点 .,第二类间断点：,除第一类间断点以外的其它间断点统称为第二类间断点。,常见的有无穷间断点和振荡间断点。,例1.6.3,考察下列函数在x=0处的间断情况：,x=0为振荡间断点,为无穷间断点,110,1. 求,的间断点, 并判别其类型.,解:,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间