函数、导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期.ppt

第三节 函数的奇偶性与周期性,1函数的奇偶性,f(x)f(x),f(x)f(x),原点,y轴,2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的两个区间上有_的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有_的单调性 (2)如果奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)_；如果函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则有_. 3周期函数 （1）若f(x)对于定义域中任意x均有 _(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数 若T是函数yf(x)的一个周期，则nT(nZ，且n0)也是f(x)的周期,相同,相反,0,f(x)0,f(xT)f(x),1奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？ 【提示】 定义域关于原点对称，必要不充分条件 2(1)若yf(xa)是偶函数，函数yf(x)的图象有什么对称性？(2)如果yf(xb)是奇函数，函数f(x)的图象有什么对称性？ 【提示】 (1)f(x)的图象关于直线xa对称；(2)f(x)的图象关于点(b,0)中心对称,函数奇偶性的判定,(2012河源质检)已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 011)f(2 012)的值为( ) A2 B1 C1 D2 【思路点拨】 当x0时，f(x2)f(x)，可得f(x4)f(x)，函数具有周期性，从而利用题设条件可求,函数的周期性,【尝试解答】 f(x)是偶函数，f(2 011)f(2 011)， 当x0时，f(x2)f(x)， f(x4)f(x)，则4是f(x)(x0)的一个周期， f(2 012)f(0)，f(2 011)f(3)f(1)， 又当x0,2)时，f(x)log2(x1)， 因此f(2 011)f(2 012)f(0)f(1)log21log221. 【答案】 B,函数性质的综合应用,函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2) (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围,【尝试解答】 (1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)， 令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.,1本题易出现不知如何脱掉“f”，原因是不理解“f”的含义，或没能掌握偶函数的性质f(|x|)f(x)，导致繁杂讨论，思维受阻 2(1)偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同(2)f(x)为偶函数f(x)f(|x|)；若奇函数f(x)在x0时有定义，则f(0)0.,从2011年的高考试题看，有7省市考查函数奇偶性、周期性多以选择题和填空题的形式出现主要考查奇偶性的判定，利用奇偶性与周期性求函数值，与单调性交汇求解简单的方程与不等式，求解这类问题务必要注意转化思想的灵活应用,思想方法之一 转化思想在函数奇偶性中的应用 (2010课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0( ) Ax|x2或x4 Bx|x0或x4 Cx|x0或x6 Dx|x2或x2 【解析】 当x0时，f(x)x38， f(x)在x0，)上是增函数，且f(2)0， f(x2)f(2)，(*) 又f(x)是偶函数， 由(*)得f(|x2|)f(2)|x2|2. 解之得x4或x0.选B. 【答案】 B,易错提示：(1)将f(x2)盲目代入解析式f(x)x38，忽视定义域的限制，无解而终 (2)挖掘不出题目的隐含条件，f(2)0以及f(x)在0，)上的单调性，不能由单调性脱掉“f”； (3)不能运用偶函数的性质f(|x|)f(x)，简化运算 防范措施：(1)注意到f(x)x38(x0)，f(2)0，将f(x2)0转化为f(x2)f(2)，为利用函数的单调性