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文档简介

第四节 导数的应用,(二),一、函数的极值,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,定理2 (第一判别法),(是极值点情形),用定理2求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,定理2-1 (第二判别法),例2,解,图形如下,注意:,例3,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,归纳：求极值的步骤,1.求出一阶导数等于零的点(驻点)及不可导点,由第一判别法进行判断; 2.求二阶导函数,由第二判别法进行判断,注意:极值是函数局部性形态特征, 极大值不一定比极小值大, 极小值也不一定比极大值小,求最值的步骤,1.求出驻点和不可导点(有的话); 2.比较端点、驻点、不可导点的函数值，哪个大为最大值，哪个小为最小值。,注意:区间内只有一个极值时, 这个值就是最 值；,三、曲线凹凸性,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,定义,1、曲线凹凸的判定,定理1,例1,解,注意到,四、曲线的拐点及其求法,1、定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2、拐点的求法,证,方法:,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,注意:,求拐点的步骤,五、函数曲线的渐近线,定义:,1.垂直渐近线,例如,有铅直渐近线两条:,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,注意:,例1,解,六、图形描绘的步骤,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,例1,解,无奇偶性及周期性.,列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:,作图举例,拐点,极大值,极小值,例2,解,非奇非偶函数,且无对称性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,作图,例3,解,偶函数, 图形关于y轴对称.,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,小结,函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.,最大值,最小值,极
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