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文档简介

1,定理:设函数 在区域D内确定，则函数在点 可导的充分必要条件是： 与 在 可微 在 的导数为 条件(*)常称为柯西黎曼条件（C. R.条件）,柯西黎曼条件方程（C. R.方程）,2,Q 研究 在 的可导性。（说明在上面 定理中 的可微性不可去） Q 判别函数 的可导点。,3,定理2 函数 在区域 内解析等价 于二元实函数 和 在区域 内处 处可微，并且满足C R方程。此时，在区域 内有,4,例3,证,5,例4,解,6,参照以上例题可以证明:,7,解析函数的判定方法:,8,容易得到,9,从而，可知,(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.,10,解,11,12,解,13,P39,8,设函数f(z)在区域D内解析，证明：若它满足下列条件之一，则它在D内是常数。 (2) 在D内解析，(3) |f(z)|在D内为常数, (4) argf(z)在D内为常数。,解法：从已知条件出发求u和v的偏导数，利用C-R条件证明u和v都是实常数，从而得证f(z)是复常数。,解: (2)若f(z)=u+iv，,若它们同时解析，那么它们都满足C-R条件，即,可得 ，即u和v在D内是实常数， 所以f(z)是复常数。,14,P39,8,设函数f(z)在区域D内解析，证明：若它满足下列条件之一，则它在D内是常数。 (2) 在D内解析，(3) |f(z)|在D内为常数, (4) argf(z)在D内为常数。,解: (3)由于|f(z)|在D内为常数，令|f(z)|2=u2+v2=C,对x,y求偏导数得,方程联立得 u2+v2=0 或,由C-R条件,积分得 u=v=0 或 u=C1,v=C2,所以f(z)=C1+iC2,15,P39,8,设函数f(z)在区域D内解析，证明：若它满足下列条件之一，则它在D内是常数。 (2) 在D内解析，(3) |f(z)|在D内为常数, (4) argf(z)在D内为常数。,解: (4)设 ， 为实常数，,则 ，两边对x,y求偏导数得,由C-R
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