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第四节 函数的连续性,一、连续函数的概念,二、 函数的间断点,三、连续函数的运算,四、初等函数的连续性,一、连续函数的概念,一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,设函数,且,定义3.7,函数的增量,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,例1 证明函数,左连续 (Left Continuity) :,当,时, 有,右连续(Right Continuity) :,当,时, 有,定理,与单侧极限相类似！,例2 讨论函数,在,处的连续性,解 由于,即左右极限不相等，所以该函数在,但是，因为,点不连续,，所以函数,在,处,右连续,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .（定义3.8，3.9）,如果此区间包含端点，,那么,（1）函数在左端点连续是指,在左端点右连续，,（2）函数在右端点连续是指,在右端点左连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,在闭区间,上的连续函数的集合记作,二、函数的间断点,定义,在,在,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则,这样的点,下列情形之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,或第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,间断点分类:,显然,为其可去间断点 .,(1),(2),为其跳跃间断点 .,例如:,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,三、连续函数的运算,四、初等函数的连续性,1.复合函数的连续性,例3 求,解：,原式,定理 ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,( 证明略 ),定理3.17 (介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点,使,至少有,( 可利用零点定理证明 ),2.反函数的连续性,其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,2
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