函数的极值与导数(上课.ppt

函数的 极值与导数 （一）,观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点,问题情境,函数y=f(x)在 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ y=f(x)在这些点的导数值是多少？ 这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？,一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f (x0),我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值= f (x0)；如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f (x0)，我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f (x0). 极大值与极小值同称为极值.,函数极值的定义,（1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； （3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. （4）极值点是自变量的值，极值指的是函数值; （5）函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.,观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?,讨论,增,增,减,减,极大值,极小值,左正右负极大值， 左负右正极小值,若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?,思考,探索: x =0是否为函数f(x)=x3 的极值点?,f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.,f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0 注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值,D,练习,例1,例2,所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2,导函数的正负是 交替出现的吗？,不是,求可导函数极值的步骤：,练习,课堂小结,1、极值的判定方法 2、极值的求法,注意： 1、f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 2、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f(x0)=0左右侧导数的符号.,函数的 极值与导数 （二）,题型 1：图像与函数的极值,1,2 导函数y=f(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出那些是极大值点，那些是极小值点？,X,Y,O,a,x1,x2,x3,x4,x5,x6,b,Y=f(x),X2,x4为极值点 X2为极大值点 X4为极小值点,3 导函数y=f(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处 （1）导函数y=f(x)有极大值？ （2）导函数y=f(x)有极小值？ （3）函数y=f(x)有极大值？ （4）函数y=f(x)有极小值？,x1,x2,x3,x4,Y=f(x),X,Y,O,X2,X4,X3,x5,X5,已知汽车在笔直的公路上行驶： （1）如果函数y=f(x)表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点 （2）如果函数y=f(x)表示时刻t时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？,y=f(t),5 以下图形分别表示一个三次函数及其导数在同一坐标系中的图像，其中一定不正确的序号是（ ）,X,Y,O,X,Y,O,X,Y,O,X,Y,O,(1),(2),(3),(4),A (3)(4) B (1)(3) C (2)(4) D(1)(2),A,题型2：含参数的函数,分析：如果函数有极大值又有极小值，说明函数的导数的符号有从正变到负和从负变到正的时候，也就是说到导函数有两个相异的实根,2 若不等式 对任意实数x都成立，求实数a的取值范围,分析：由不等式可以知道 ,则要求a的范围，只要a 大于函数 的最大值即可，问题转化成求函数f(x)的最值,课堂小结,1 通过图像来观察函数的极值点 2 利用极值与导数的关系来求函数中参数的范围,函数的 极值与导数 （三）,目标： 根据函数的极值与函数的导数关系来求解函数的解析式 数形结合来解决问题,例1,题型3： 求解析式,若函数 在x=-1和x=3时有极值，则a=_,b=_,-3,-9,a=-3,b=-9,c=2,极小值为-25,(2006年北京卷)已知