函数的极值与最大值.ppt

第三节 函数的极值与最大值、最小值,一、函数极值的定义,二、函数极值的判定和求法,三、函数的最大值和最小值,1. 求可导函数f(x)在闭区间a ,b上的最大值和最小值,一般方法：求出所有驻点处的函数值，并与端点的函数值直接比较即知最值。,例1 求函数 在区间-2 ,6上的最大值和最小值。,2. 一个特殊情形,结论：若函数f(x)在一个开区间内可导且有唯一的极值点x0，则当f(x0)为极大（小）值时，f(x0)就是f(x)在该区间内的最大（小）值。,例2 求函数 的最大值。,3. 实际问题,在实际问题中，若函数f(x)在某区间内只有一个驻点x0，且从实际问题本身又可以知道f(x)在该区间内必有最值，则f(x0)就是所要求的最值（不必判断）。,例3 用边长为48厘米的正方形铁皮做一 个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。问怎样截才能使铁盒容积最大？,48,x,48-2x,48-2x,x,例4 如图所示的电路中，已知电源电压为 E，内阻为r，求负载电阻R为多大时，输出功率最大？,r,E,R,第四节 曲线的凹凸与拐点,一、凹凸性,定义 如果在某区间内的曲线弧位于其上任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内为凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其上任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内为凸的。,O,x,y,A,B,C,D,E,例如，右图中，曲 线弧 ABC在区间(a ,c)内 是凸的；弧CDE 在区间(c ,b)内是凹的。,a,c,b,几何上，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x的增大而增大，即 为x的增函数，即,0。对于凸的曲线弧，切线的斜率随x的增大而减小，即 为x的减函数，即 。,定理（凹凸性判定定理） 设函数f(x)在区间(a ,b)内具有二阶导数。,（1）若在(a ,b)内 ，则曲线y=f(x)在(a ,b)内为凹的；,（2）若在(a ,b)内 ，则曲线y=f(x)在(a ,b)内为凸的。,凹,凸,例1 判定曲线 的凹凸性。,x +,例2 判定曲线y=x3的凹凸性。,x 0 0 + y=x3,二、拐点的定义和求法,定义 连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点。,例如，例2中的点(0,0)即为曲线y=x3的拐点。,拐点的求法：,（1）确定函数y=f(x)的定义域,（2）求出,（3）令 ，解出这个方程在函数y= f(x)的定义域内的实根,（4）对于解出的方程 的每个实根x0，考察 在x0左右近旁的符号。若,的符号相反，则点(x0,f(x0)为拐点；否则不是拐点。,例3 求曲线 的凹凸区间和拐点。,x 1 0 + 曲线y=f(x) 拐点(1,-2),例4 判断曲线 是否有拐点？,三、函数图形的描绘（微分法作图）,例5 用微分法作函数 的图象。,x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1,曲线 极大值 拐点 极小值,+ 0 0 +,y=f(x) (0,0),0 + + +,1,-1,O,1,2,-2,x,y,-1,有时，还可结合所谓水平、垂直渐近线作图。,定义 对于函数y=f(x)，若,存在，则称直线y=b 为曲线y=f(x)的水平渐近线；若,存在，则称直线x=x0 为曲线y=f(x)的垂直渐近线。,例如，直线y=1及x=2 分别为曲线 的 水平和垂直渐近线。,O,y,x,1,2,3,1,y=1,注意：曲线是由双曲线 平移而得到的。,x=2,用微分法作函数图象的一般步骤：,（1）求函数的定义域,（2）判断函数的有界性、奇偶性、周期性,（3）求函数的一阶导数，并解出驻点；求函数的二阶导数，解出二阶导数为零的点,（4）用函数的驻点及二阶导数为零的点，将函数的定义域分成若干个区间，列出一个综合表，以综合判断函数的单调性、极值及曲线的凹凸性和拐点（包括凸增、凸减、凹增、凹减等）,（5）判断曲线有无水平或垂直渐近线（若有的话，则求出之）,（6）适当补充若干个辅助