函数的连续性(139).ppt

二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,2.8 函数的连续性,第二章,现实世界中很多变量是连续不断的.如气温、时间、,物体的运动等等，都是连续变化的.,这种现象反映在数学上就是连续性，,函数的连续性是微积分的又一重要概念！,可见 , 函数,在点,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,一、 函数连续性的定义,若,在某开区间内每一点都连续 ,则称它在该,开区间内连续 ,或称它为该开区间内的连续函数 .,在闭区间a, b上的连续函数的集合记作,例如,在,上连续 .,( 有理整函数 ),又如, 有理分式函数,在其定义域内,连续.,只要,都有,函数连续性的等价定义,对自变量x0的增量,有函数的增量,函数,在点 x0,连续有下列等价命题:,左连续,右连续,当,时, 有,函数 y = f ( x )在点 x0 连续的两种等价定义:,假设函数 f ( x )在点 x0 的某临域内有定义.,的充要条件是,的充要条件是,例1. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,这说明，对于连续函数，极限符号与函数符号,可以交换.,例如,注意：对于非连续函数，极限符号与函数符号,不一定可以交换.,若函数 f (x)在开区间(a, b)内每一点都连续 , 而且,则称函数 f (x)在,在点 x=a 右连续，在点 x=b 左连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,闭区间a, b上连续.,在,在,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则,这样的点,下列情形之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为函数 f ( x )的间断点 .,在,无定义 ;,二、 函数的间断点,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,在,x =0连续函数.,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,练习题,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,一、连续函数的运算法则,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第二章,定理2. 连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 ,连续的函数. ( 利用极限的四则运算法则证明),积 , 商 (分母不为 0) 运算的结果,仍是一个在该点,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1 , 1 上也连续单调递增.,单调递增,(递减),也连续,一、连续函数的运算法则,在,上连续单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,定理3. （连续函数的复合函数是连续的）,在点 u0 连续，则复合函数,在点 x0 连续，即,定理3可修改为下面求复合函数极限的定理,定理4 （复合函数求极限）,若函数,在点 x0 有极限，即,但,或者 在点 x0 无定义(即 x0 是可去间断点),又函数 f (x)点 a 连续，则复合函数,在点 x0,的极限存在，且为,若函数 f (x) 连续，则f (x) 一定连续.,反之，若f (x) 连续，函数 f (x)不一定连续.,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,的图像,设,均在a, b上连续,证明函数,也在a, b上连续,补例 .,证:,根据连续函数运算法则 ,也在a, b上连续 .,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,二、初等函数的连续性,利用连续函数的复合函数的连续性求极限,例1. 求,解:,原式,例2. 求,解: 令,则,原式,说明: 当,时, 有,利用连续函数的复合函数的连续性求极限,解:,原式,说明: 若,则有,例3 求,例4 求,解: 原式 =,解,例4 求,考虑函数在 x =0 点的左右极限,所以原式 = 1.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,课本89页例题,例10 求,解,例11 求,解,课本94页-习题28,（2） 求,解,（3） 求,解,（4） 求,解