函数极限(limitoffunctio.ppt

函数极限 (Limits of Functions),极限的概念,极限定义(Definition of a limit),The number L is the limit of the function f(x) as x approaches c (or approaches infinity) if, as the values of x gets arbitrarily (but not equal) to c (or approaches infinity), values of f(x) approach (or equal) L. We write,极限，即自变量的值无限趋近但不等于某规定数值（或自变量绝对值无限增大）时，函数值趋近于某个定值。,设函数y=f(x)在点 附近有定义（在点 可以无定义），若当x无限接近于 时，函数f(x)的值无限接近于常数A，则称当x趋于 时，f(x)以A为极限，记作 或 f(x)A(x ),（描述性定义）,1. xx0时函数的极限,This is called the left-hand limit and is written:,This is called the right-hand limit and is written:,4.9 4.99 4.999 4.9999 ,5.1 5.01 5.001 5.0001 ,2.1 2.01 2.001 2.0001 x2 （from the right）,f(x)5,f(x)5,极限存在定理,设函数y=f(x)在点 左(或右)侧有定义（在点 可以无定义），若当x无限接近于 时，函数f(x)的值无限接近于常数A，则称当x趋于 时，f(x)以A为左（或右）极限，记作,左极限与有极限统称为单侧极限（one-sided limit）.左右极限又可分别记为,2. x时函数的极限,Consider the limit of the function,极限的运算法则（Rules of limits）,Then,前提很重要,Evaluate the following limits,对于一切初等函数，当 在该函数的定义域内，求 的极限值时，只需把 代入 即可。,当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以x的最高次数项，然后再化简。,当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以x的最高次数项，然后再化简。,exercise,Homework,两个重要极限(Two important limits),?,如何证明?,解,这个结果可以作为公式使用,例 1 求,例 2,注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：,练习1. 求下列极限:,例 3,解,例 4,解,思考题,夹逼定理(Sandwich(Squeeze)theorem),例 用夹逼准则求,练习3：下列等式正确的是（ ）,练习4：下列等式不正确的是（ ）,练习5.,两个重要极限(Two important limits),?,解 因为,所以，有,例 1,例 2,解 方法一 令 u = -x， 因为 x 0 时 u 0，,所以,方法二 掌握熟练后可不设新变量,例3,解,练习,解,极限的应用1：找渐近线 Application of limits：Finding asymptotes,A line y=c is a horizontal asymptote of graph of y=f(x),if A line x=k is a vertical asymptote of graph of y=f(x),if,极限的应用2：连续 Application of limits：Continuity,连续的定义（Definition of continuity）,直观认识：坐标平面上的图像是一条连绵不断的曲线. （图像一笔画）,函数在某点连续(Continuous at a point ),设函数在 附近有定义，若 ，则称 在点 连续.,若函数f在区间I上的每一个点都连续，则称f为I上的连续函数.,注：基本初等函数在其定义域内都是连续函数，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、多项式函数、有理函数在其定义域上都是连续函数. 有理函数 在 处不连续.,非连续性分类（Kinds of discontinuity）,间断点：若f在点x0无定义，或f在x0有定义而不连续，则称x0为函数f的间断点或不连续点.,1. 可去间断 点(Removable discontinuity) 若 f在 无定义，或有定义但,2. 跳跃间断点（Jump discontinuity）,若函数f在点 的左右极限都存在，但 ， 则称点 为函数的跳跃间断点.,3. 无穷间断点（Infiite discontinuity）,至少有一侧极限不存在.,(A) is continuous everywhere (B) is continuous except x=0 (C) has a removable discontinuity at x=0 (D) has a infinite discontinuity at x=0 (E) has x=0 as a vertical asymptote,连续函数定理(Theorems of continuous function),1. 最值定理（Extreme value theorem） 若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上有最大值与最小值. If f is continuous on the closed interval a,b, then f attains a minmum value and a maximum value somewhere in that interval.,2. 介值定理（Intermediate value theorem） 若函数f在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b). 若M为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a) Mf(b) or f(b)Mf(a)，则至少存在一点 c(a,b)，使得f(c)=M. If f is continuous on the closed interval a,b, f(a)f(b), and M is a number such that f(a) Mf(b)（or f(b)Mf(a) ) ,then the