函数的连续性(127).ppt

第八节 函数的连续性,一.连续函数的概念,1.改变量,初值,终值,记作:,注,1.改变量可正可负.,2.,2.连续,定义(1),设函数,在点,的某邻域内,有定义,自变量的改变量,如果,时,函数的改变量,趋于,也趋于,即,则称,在点,连续.,注,在点,函数,连续的几何意义.,例1 证明,在,处连续.,因,证,所以,故,在,处连续.,例2 证明,在,处连续.,例3,证明,在,内任一点连续.,证,在,内任取一点,因,所以,故,在,内任一点连续.,讨论函数连续的另一定义形式,定义(2),设函数,在点,的某邻域,内有定义,如果,则称,在点,连续.,注,精确性定义:,设函数,在点,的某邻域内,有定义,如果,对,不论多么小,总存在,当,时,恒有,则称,在点,连续.,连续条件:,有定义,有极限,值相等.,有定义是连续的,必要条件.,如果,则称,在点,右连续.,则称,在点,左连续.,关系,连续的充要条件为左连续且右连续.,区间连续:,如果函数,在开区间,内,每一点都连续,则称,在开区间,内连续.,如果函数,在开区间,内连续,并且,在左端点右连续,在右端点左连续,则称,在闭区间,上连续.,注,几何意义,如果函数,在开区间,内连续,并且,在左端点右连续,在右端点左连续,则称,在闭区间,上连续.,两定义分工:,定义(1)一般用于证明题.,定义(2)一般用于具体题判断.,例4,讨论函数,处的连续性.,解,所以,故,函数,连续.,因,又,从而,在,例5,求,的值,使函数,在分界点连续,解,依题意得,故,二.函数的间断点,(不连续点),有下列三种情况之一,函数,在点,的间断点.,则,就是,没定义:,没极限:,极限值与函数值都存在但不相等,不存在,不存在,没定义,没极限,值不等.,或,或,间断点,第一类,第二类,可去,跳跃,无穷,其它,按左右极限情况:,(1) 第一类间断点,若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且,f (x) 的第一类间断点.,则称 x0 为函数,定义,第一类间断点,左右极限存在,左右极限不相等,左右极限相等不等于函数值,(2) 第二类间断点,凡不属于第一类的间断点, 称为函数的第二类间断点.,这算定义吗？,定义,即左右极限至少有一个不存在的点.,第二类间断点,左右极限至少有一个不存在,左右极限至少有一个为无穷大,左右极限至少有一个振荡,函数间断点的分类,函数的间断点,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,例6 讨论下列函数的间断点及其类型,在,在,在,在,因,不存在,所以间断.,解,因,不存在,所以间断.,解,因,不存在,所以间断.,解,解,因,所以间断.,不存在,例6 讨论下列函数的间断点及其类型,解,因,解,解,解,所以为可去间断点.,因,所以为跳跃间断点.,所以为无穷间断点.,因,不存在,所以为其它间断点.,在,在,在,在,关于可去间断点的附加说明,在,是可去间断点.,因,而,却不存在,所以间断.,如果将,改成,则,在,连续.,但事实上是,在,连续.,数学上可以通过讨论,解决,的问题.,补充定义的方法:,先求极限值,极限值是几,就将函数值改成几.,例7,给,补充一个什么数值,能使,在点,连续.,解,补充,三.连续函数的性质,如果,和,在点,连续,则,(1),在点,连续;,(2),在点,连续;,(3),当,时,在点,连续.,如果函数,在点,连续,在点,连续,并且,则,复合函数,在点,连续.,定理2.20,定理2.21,如果函数,在点,连续,且,有反函数,则,在点,连续.,重要结论,一切初等函数在其定义区间内,连续.,注,在定义域内不连续.,定理2.22,问题:,(1)初等函数求连续区间?,(2)初等函数求间断点?,(3)分段函数求间断点?,求极限:,(1),已