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文档简介

二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,1. 增量的定义,增量可正可负:,一、函数连续性的定义,从几何上观察:,函数增量:,2. 连续的定义,定义1.,定义2:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,设函数,若,f (x),问题： 函数在点x0连续与 存在极限的区别？,1. x = x0必须取到,2. A = f (x0),f (x0),f (x0)+,f (x0),并且 A= f (x0),f (x)在x0连续,函数,在点,(1),在点,即,(2) 极限,(3),连续,存在;,有定义,存在;,必须具备下列条件:,说明:,例1.,证:,3. 单侧连续,(1) 左连续,(2) 右连续,例2.,解:,例3.,解:,连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形 是一条连续而不间断的曲线.,例4. 有关有理函数的讨论.,故有理分式函数在其定义域内每一点连续.,例5.,证:,同理,在,在,二、函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,例6.,1. 可去间断点 (极限存在的间断点),例7.,2. 跳跃间断点 (单侧极限存在但不相等的间断点),3. 无穷间断点 (极限为无穷大的间断点),例8.,例9.,4. 振荡间断点,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少有一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点;,为跳跃间断点.,为无穷间断点;,为振荡间断点.,例10.,解:,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,1. f (x),1
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