初中数学几何模型(1)-八年级上部分.pdf

经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 1 熟能生巧熟能生巧 模型一：手拉手模型全等 等边三角形 条件：OAB?,OCD?均为等边三角形 结论：OACOBD?;60AEB? OE平分AED?（易忘） E O D C BA AB C D O E O AB E AB C D O E 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 2 2 锲而不舍锲而不舍 等腰RT? 条件：OAB?,OCD?均为等腰直角三角形 结论：OACOBD?;90AEB? OE平分AED?（易忘） O AB E C D D C E BA O AB E O 导角核心图形 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 3 熟能生巧熟能生巧 任意等腰三角形 条件：OAB?,OCD?均为等腰三角形 且AOBCOD? 结论：OACOBD?;AEBAOB? OE平分AED?（易忘） 模型总结：核心图形如右图，核心条件如下： OAOB?，OCOD? AOBCOD? O A B C D E O AB C D 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 6 6 锲而不舍锲而不舍 模型三：对角互补模型 （全等型90） 条件：90AOBDCE? OC平分AOB? 结论：CDCE?；2ODOEOC? 2 1 2 ODCEOCDOCE SSSOC ? ? 辅助线之一：作垂直，证明CDMCEN? E D C BO A N M A OB C D E 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 7 熟能生巧熟能生巧 条件：90AOBDCE? OC平分AOB? 结论：CDCE?；2ODOEOC? 2 1 2 ODCEOCDOCE SSSOC ? ? 辅助线之二：过点C作CFOC? 证明ODCFEC? F A O B C D E 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 8 8 锲而不舍锲而不舍 当DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （辅助线之一） CDCE?不变 2OEODOC?（重点） 2 1 2 OCEOCD SSOC ? ?（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 M NE D C B O A 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 9 熟能生巧熟能生巧 当DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （辅助线之二） CDCE?不变 2OEODOC?（重点） 2 1 2 OCEOCD SSOC ? ?（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 F A O B C D E 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 1010 锲而不舍锲而不舍 细节变化：若将条件“OC平分AOB?”与结 论“CDCE?”互换 条件：90AOBDCE? CDCE? 结论：OC平分AOB?； 2ODOEOC? 2 1 2 ODCEOCDOCE SSSOC ? ? E D C BO A 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 11 熟能生巧熟能生巧 （全等型120） 条件：2120AOBDCE? ? OC平分AOB? 结论：CDCE?；ODOEOC? 2 3 4 ODCEOCDOCE SSSOC ? ? 请模仿（全等形90）辅助线之一完成证明 O D A C E B 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 1212 锲而不舍锲而不舍 辅助线之二： 在OB上取一点F， 使O F O C? 证明OCF?为等边三角形（重要） 结论：CDCE?；ODOEOC? 2 3 4 ODCEOCDOCE SSSOC ? ? 必须熟练，自己独立完成证明 F B E C A D O 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 13 熟能生巧熟能生巧 当DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （辅助线之二） _ _（重点） _（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 O D A C E B F 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 1414 锲而不舍锲而不舍 （全等型任意角?） 条件：2AOB?,1802DCE? CDCE? 结论：OC平分AOB?； 2cosODOEOC? 2 sincos ODCEOCDOCE SSSOC? ? ? 难度较大，记得经常复习 OB E CD A 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 15 熟能生巧熟能生巧 当DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （辅助线之二） _ _（重点） _（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 请思考初始条件的变化，对模型的影响 O B E C D A 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 1616 锲而不舍锲而不舍 （对角互补模型-相似型） 如图，若将条件“OC平分AOB?”去掉 条 件 ： 90AOBDCE?不 变 ， C O E?，结论中三个条件又该如何变化？ 结论：tanCECD?； (tan)cosODOEOC? 22 1 tantan 2 OCDOCE SSOC? ? ? O A D C EB M NB E C D A O 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 17 熟能生巧熟能生巧 证明：过点C作CFOC?，交OB于点F 90DCEOCF? DCOECF? 180AOBDCE? 180CDOCEO? CDOCEF? CDOCEF? tan EFCECF DOCDCO ?（关键步） F O A D C E B 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 1818 锲而不舍锲而不舍 结论得证 tanEFOD? () cosOEEFOC? 结论得证 22 ()tan CEF CDO SCF SCO ? ? ? ? 2 tan CEFCDO SS? ? ? OCECEFOCF SSS ? ? 且 2 1 tan 2 OCF SOC? ? ? 结论得证 难度非常大，请仔细认真复习 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 19 熟能生巧熟能生巧 对角互补模型总结： 常见初始条件：四边形对角互补 两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线 初始条件：角平分线与两边相等的区别 常见两种辅助线的作法 注意下图中“OC平分AOB?” CDECEDCOACOB?相 等 是 如 何推导 E D C BO A 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 2424 锲而不舍锲而不舍 倍长中线类模型 条件：矩形ABCD；BDBE? DFEF? 结论：AFCF? 模型提取： 有平行线ADBE 平行线间线段有中点DFEF? 可以构造 8 字全等ADFHEF? H H BE F DA F E D CB A 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 25 熟能生巧熟能生巧 倍长中线类模型 条件：平行四边形；ABCD2BCAB?； AMDM?；CEAD? 结论：3EMDMEA? ? 辅助线:有平行ABCD，有中点AMDM? 延长EM， 构造AMEDMF?， 连接CM构 造等腰EMC?,MCF? 通过构造 8 字全等线段数量及位置关系， 角的大 小转化 F A B C D E MM E D CB A 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 3030 锲而不舍锲而不舍 最短路程模型之一（将军饮马类） 总结： 以上四图为常见的轴对称类最短路程问题， 最后都转化到： “两点之间，线段最短”解决 特点：动点在直线上；起点，终点固定 PA+PQ+BQ PA+PB l2 l1 B A Q P B A P l B B A AP+PQ+QB AP+PQ+QB l1 l2 A Q P B A l A Q P B B A 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 31 熟能生巧熟能生巧 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如右图OC平分AOB? M为OB上一定点 P为OC上动点 Q为OB上动点 求：MPPQ?最小时，P、Q的位置 辅助线：将作Q关于OC对称点Q，转化 PQPQ?，过点M作MHOA? MPPAMPPQMH?（垂线段最短） H Q Q P M C B O A P A 垂线段最短 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 3232 锲而不舍锲而不舍 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如图，点A、B为定点，P为动点 问题：点P在何处， 1 2 BPAP?最短 结论：以A为顶点作30PAC?，过点P作 PQAC?，转化 1 2 PQAP?,过点B作AC 的垂线与AP的交点为所求（垂线段最短） 所求点 定点 动点 定点 C Q A B P l l P B A 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 33 熟能生巧熟能生巧 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如图，点A、B为定点，P为动点 问题：点P在何处， 2 2 BPAP?最短 结论：以A为顶点作45PAC?，过点P作 PQAC?，转化 1 2 PQAP?,过点B作AC 的垂线与AP的交点为所求 所求点 定点 动点 定点 C Q A B P l l P B A 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 3434 锲而不舍锲而不舍 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：(0,4)A、( 2,0)B ?，(0, )Pn 问题：n为何值时， 5 5 PBPA?值最小 结论： x上取点(2,0)C， 使 5 s i n 5 O A C? 过点B作BDAC?， 交y轴于点E为所求 1 tantan 2 EBOOAC?，即(0,1)E E D C A Bx y O PP O y xB A 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 35 熟能生巧熟能生巧 最短路程模型之三（旋转类最值模型） 条件：线段4OA?,2OB?()OAOB? OB绕点O在平面内360?旋转 问题：AB的最大值，最小值分别为多少？ 结论：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图 所示， 将问题转化为 “三角形两边之和大于第三 边，两边之差小于第三边” 最大值：OAOB?；最小值：OAOB? 最大值位置 最小值位置 B O A 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 3636 锲而不舍锲而不舍 最短路程模型之三（旋转类最值模型） 条件：线段4OA?,2OB? 以点O为圆心，OB，OC为半径作圆 点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点 问题： 若PA的最大值为10，则6OC ? 若PA的最小值为