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利用导数研究函数极值,已知函数 f(x)=2x3 - 6x2 + 7 (1)求f(x)的单调区间,并画出其大致图象;,【函数的极值】,【复习与思考】,(2)函数 f(x)在 x0 和 x2 处的函数值与 这两点附近的函数值有什么关系?,一、函数的极值定义,如果对X0附近的所有点X，都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点X0处取极大值， 记作y极大值= f(x0)；并把X0称为函数f(x)的一个极大植点。,函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点,已知 函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点，,探究 1、图中有哪些极值点和最值点？ 2、函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？ 3、最值和极值有什么联系和区别? 4、端点可能是极值点吗？,(1)极值是一个局部概念,反映了函数值在某一点附近的大小情况;,(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;,(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;,关于极值概念的几点说明,(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。,观察与思考：极值与导数有何关系？,在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。,f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,f (b)=0,结论：设x=x0是y=f(x)的极值点，且f(x)在x=x0是可导的，则必有f (x0)=0,f (x)0,x1,f (x)0,f (x)0,f (x)0,二、判断函数极值的方法,x2,注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。 可导函数必有极值； 函数的极值点必在定义域内； 函数的极小值一定小于极大值。 （设极小值、极大值都存在）； 函数的极小值（或极大值）不会多于一个。,，,例题: 求函数 的极值。,解：,令,，,列表如下：,所以函数有极大值 ，极小值 。,练习:求函数 的极值.,对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要不充分条件.,【求函数极值的步骤】,（1） 求导数 ； （2） 解方程 求得所有实数根 （3） 通过列表检查 在方程 的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值.,1、可导函数的极值点概念及与导数的关系。 2、求极值的方法步骤。 3、极值与最值的联系与区别。 4、求最值的方法步骤。 5、注意：不可导函数也可能有极值点.
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