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,可降阶高阶微分方程,8.3.1,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,例1.,解:,例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减,直到 t = T 时 F(T) = 0 .,如果开始时质点在原点,解: 据题意有,t = 0 时,设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .,小,求质点的运动规律.,初速度为0,且,对方程两边积分, 得,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,型的微分方程（方程不显含y),设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,二、,例3. 求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,三、,型的微分方程(方程不显含x),令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,例4. 求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,例5. 解初值问题,解: 令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,内容小结,可降阶微分方程的解法, 降阶法,逐次积分,令,令,思考与练习,1. 方程,如何代换求解 ?,答: 令,或,一般说, 用前者方便些.,均可.,有时用后者方便 .,例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?,答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.,(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.,速度,大小为 2v, 方向指向A ,提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有,去分母后两边对 x 求导, 得,又由于,设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v,备用题,的速度沿 y 轴正向运动,物体 B 从 (1, 0 ) 出发,试建立物体
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