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2019/5/25,1,第三章 平面立体的投影及线面投影分析,帮助,直线及直线上点的投影分析 平面立体的三面投影及其上直线的投影分析 两直线的相对几何关系 立体上平面的投影分析 点、线、面间的相对几何关系 直线与平面、平面与平面间的相对位置 同坡屋顶的画法 作业及要求,2019/5/25,2,直线及直线上点的投影分析,直线的投影 直线上点的投影 与投影面成各种角度的直线 平行线 垂直线 一般位置直线 直线的辅助投影 将一般倾斜直线变换为新投影面的平行线 将一般倾斜直线变换为新投影面的垂直线 例题3-3,2019/5/25,3,平面立体的三面投影及其上直线的投影分析,棱柱 棱锥 棱台 常见平面立体的两面投影 立体上直线的投影与分析,2019/5/25,4,两直线的相对几何关系,两直线相交 两直线平行 两直线交错 两直线相交垂直 两直线交错垂直 例题,两直线间的相对几何关系有相交、平行和交错三种情形。如图：,2019/5/25,5,立体上平面的投影分析,平面的投影 与投影面成各种角度的平面 平面内的直线 平面的辅助投影,2019/5/25,6,点属于平面的几何条件： 点须在该平面的任意一条直线上。因此，要在平面上定点，必须先在平面上定直线。,点、线、面间的相对几何关系,平面内的点,平面体表面的可见性 例3-10 例3-11 例3-12,平面体表面上的直线和点,例3-6 例3-7 例3-8 例3-9,2019/5/25,7,直线与平面、平面与平面间的相对位置,平行：,直线与平面平行 、 平面与平面平行,相交：,直线与平面相交 、 平面与平面相交,垂直：,直线与平面垂直 、平面与平面垂直,2019/5/25,8,同坡屋顶的画法,在坡屋顶中，如果各屋面有相同的水平倾角，且屋檐各处同高，则由这种屋面构成的屋顶称为同坡屋顶，如下图：,1过两平行屋檐的屋面如果相交，则必交出水平屋脊，屋脊与屋檐平行，且其水平投影与屋檐的水平投影等距离。如上图a中的ih平行于af和bc，且与af、bc等距离；gk平行于fe和cd，且与fe、cd等距离。,投影规律：,概述：,点击图形放大,2019/5/25,9,3屋顶上过某点当有两条交线时，过该点必还有第三条交线。三条交线中一定有一条是水平屋脊，另外两条是斜脊或天沟。如上图a中过g的三条交线，gk是水平屋脊的水平投影，gf是天沟的水平投影，gh是斜脊的水平投影。,例3-24,2过相邻屋檐的两屋面必相交于倾斜的屋脊或天沟，通过凸墙角的是斜脊(如上图b），通过凹墙角的是天沟。斜脊或天沟的水平投影是屋檐水平投影夹角的分角线，对于正交的屋檐来说即为正负45方向的斜线。如上图a中的ai、bi都是斜脊的水平投影，fg是天沟的水平投影。,2019/5/25,10,棱柱,特点：,棱柱有两个互相平行的底面，棱线互相平行,投影：,2019/5/25,11,棱锥,特点：,棱锥有一个多边形底面，棱面是有一个公共顶点的三角形，棱线汇交于顶点。,投影：,2019/5/25,12,棱台,特点：,棱台的上下底面为平行的相似形，而且所有棱线的延长线汇交于一点。,投影：,2019/5/25,13,常见平面立体的两面投影,三棱柱,四棱柱,四棱台,三棱锥,四棱锥,五棱锥,2019/5/25,14,立体上直线的投影与分析,立体上直线的投影 立体上与投影面成各种角度的直线 立体上直线的点的投影举例,2019/5/25,15,立体上直线的投影,2019/5/25,16,立体上与投影面成各种角度的直线,投影面平行线的投影特性,投影面垂直线的投影特性,一般倾斜直线的投影特性,正平线 水平线 侧平线,正垂线 铅垂线 侧垂线,2019/5/25,17,正平线,投影特性：,2019/5/25,18,水平线,投影特性：,2019/5/25,19,侧平线,投影特性：,2019/5/25,20,正垂线,投影特性：,2019/5/25,21,铅垂线,投影特性：,2019/5/25,22,侧垂线,投影特性：,2019/5/25,23,一般倾斜直线的投影特性,三个投影都是倾斜线段，并且投影长度都小于实长。,投影特性,2019/5/25,24,立体上直线的点的投影举例,直线上的点：,例31 如图311a所示，已知侧平线SB上点K的V面投影k，求其水平投影 。,2019/5/25,25,两直线相交,共面两直线,判断两直线是否相交,2019/5/25,26,两直线平行,共面两直线,判断两直线是否平行,2019/5/25,27,两直线交错,交错两直线及其重影点和可见性,交错两直线的投影有可能出现平行，但不可能三面投影都平行。,2019/5/25,28,两直线相交垂直,当相互垂直的直线中至少有一条为某个投影面的平行线时，如图（a）中的ABBC ，其中AB平行于H面，则在直线AB所平行的那个投影面上的投影反映垂直关系，如图（b）、（c）中abbc。,直角投影法则：,2019/5/25,29,两直线交错垂直,2019/5/25,30,例3-2,已知矩形ABDC的一边AB为水平线，并给出AB的两投影ab、ab和AC的正面投影ac，试完成该矩形的两面投影图。,2019/5/25,31,平面的投影,平面的表示方法 ：,平面对投影面的各种相对位置：,一般位置平面（对V、H、W都倾斜） 投影面垂直面（仅仅垂直于一个投影面） 投影面平行面（平行于一个投影面同是垂直另外两个投影面）,非迹线表示法 迹线表示法(可不讲）,2019/5/25,32,与投影面成各种角度的平面,投影面平行面的投影特性,正平面 水平面 侧平面,投影面垂直面的投影特性,正垂面 铅垂面 侧垂面,一般倾斜平面的投影特性,小结,2019/5/25,33,正平面,投影特性：,2019/5/25,34,水平面,投影特性：,2019/5/25,35,侧平面,投影特性：,2019/5/25,36,正垂面,投影特性：,2019/5/25,37,铅垂面,投影特性：,2019/5/25,38,侧垂面,投影特性：,2019/5/25,39,小结,投影面垂直面在它所垂直的投影面上的投影积聚为倾斜的直线，另外两投影则为相仿形，对于平面体的表面来说，即为同边数的多边形。,P的三面投影,Q的三面投影,R的三面投影,2019/5/25,40,一般倾斜平面的投影特性,棱面P与任一投影面既不平行也不垂直，故三个投影面上的投影均小于平面本身，是P 的相仿形。,投影特性：,2019/5/25,41,直线在平面内的几何条件： 直线通过平面内的两个点或通过平面内的一个点并平行于平面内的另一直线。,平面内的直线,例34 已知ABC平面内的直线MN的正面投影mn，试作出其水平投影mn。,平面内的水平线,平面内的正平线,2019/5/25,42,平面内的水平线,2019/5/25,43,平面内的正平线,2019/5/25,44,平面的辅助投影,将一般倾斜平面变换为投影面垂直面,将一般倾斜平面变换为投影面平行面,例3-5 下图为顶部被斜截棱柱的投影图，试作出顶部斜面的实形。,2019/5/25,45,将一般倾斜平面变换为投影面垂直面,1. 在ABC面内作一条水平线AD，即作adOX，求 出ad；,2. 在适当位置作O1X1ad；,3. 根据点的投影规律，作出ABC面的新投影a1b1c1，此时a1b1c1必定积聚为一条线段。,作图步骤：,2019/5/25,46,将一般倾斜平面变换为投影面平行面,二次换面,作图步骤,2019/5/25,47,2.在适当位置作O1X1cd， 作出ABC的新投影1b1c1 它必积聚为一条直线；,1.在ABC面内作水平线CD，即作cdOX，求出cd；,3. 再在适当位置作O2X2a1b1c1，即可作出ABC的新投影a2b2c2。a2b2c2反映ABC的实形。,作图步骤,2019/5/25,48,例3-6,如图，已知点M在ABC平面上，作出其水平投影m。,2019/5/25,49,例3-7,如图，已知点M在平面P上，试作出点M的其余投影。,2019/5/25,50,例3-8,如图所示，已知平面四边形ABCD的正面投影abcd和AD、DC两条边的水平投影ad和dc，试作出该平面的水平投影abcd。,2019/5/25,51,例3-9,如图所示: 完成图a所示一般倾斜平面的水平投影。,2019/5/25,52,平面体表面的可见性,平面体各投影的外形轮 廓线总是可见的；,位于可见表面或表面的可见区域的点或线是可见的，反之则不可见；,3. 不可见表面与不可见表面的交线也为不可见；,4. 可见的线用实线表示，不可见的线用虚线表示，两种线投影重合时只画实线。,可见性的判断和表示规则如下：,2019/5/25,53,平面体表面的可见性 可见性的判断和表示规则如下：,2019/5/25,54,例3-10,如图所示，已知四棱柱的三个投影，及四棱柱表面上点A、B的正面投影和点C的侧面投影，试作出A、B、C三点的另外两个投影。,2019/5/25,55,例3-11,如图所示，已知三棱锥S-ABC的三个投影，及三棱锥表面上点M的正面投影m，试求出M点的另外两个投影。,2019/5/25,56,例3-12,如图所示，已知三棱锥S-ABC的三个投影，及三棱锥表面上折线KMN的正面投影kmn，试求出KMN折线的另外两个投影。,2019/5/25,57,直线与平面相交 、平面与平面相交,直线和特殊位置平面相交 特殊位置直线和一般位置平面相交 一般位置平面和特殊位置平面相交 一般位置直线和一般位置平面相交 一般位置平面和一般位置平面相交,2019/5/25,58,直线和平面平行,定义：,如果平面外的直线AB平行于平面P上的一条直线CD，则直线AB与平面P相互平行，如下图所示。,例3-13,例3-14,2019/5/25,59,例3-13,如图所示，试判断直线MN与ABC平面是否相互平行。,2019/5/25,60,例3-14,如图所示，已知abp，试判断直线AB与铅垂面P是否相互平行。,2019/5/25,61,平面与平面平行,定义：,如果平面P内的两条相交直线AB、CD与另一平面Q内的两条相交直线EF、GH对应平行，则平面P与平面Q相互平行。,两平面平行,两平面不平行,例3-16,如图所示，试判定ABC平面与四边形DEFG平面是否平行。,形体上的平行表面,2019/5/25,62,形体上的平行表面,2019/5/25,63,投影特性：直线的正面投影垂直于平面内正平线的正面投影，直线的水平投影垂直于平面内水平线的水平投影。,直线与平面垂直,2019/5/25,64,平面与平面垂直,投影特性：若ABC垂直DEF,则DEF内必存在一条直线EG，其水平投影eg垂直ABC内的一条水平线AB的水平投影ab；其正面投影eg垂直ABC内一条正平线AC的正面投影ac。,2019/5/25,65,直线和特殊位置平面相交,例3-17 如图所示，试求直线AB与铅垂面P的交点，并判别其投影的可见性。,2019/5/25,66,特殊位置直线和一般位置平面相交,例3-18 如图所示，试求铅垂线DE与ABC平面的交点K，并判断直线投影的可见性。,2019/5/25,67,一般位置平面和特殊位置平面相交,例3-21,例3-22,2019/5/25,68,例3-21,如图所示，试求铅垂面P与一般倾斜平面ABC的交线，并判断各部分的可见性。,利用平面P的积聚性，有：,2019/5/25,69,例3-22,如图所示，立体被铅垂面P和正垂面Q切割，试在投影图上作出P和Q两平面交线MN的投影。,利用铅垂面的水平投影和正垂面正面投影的积聚性，有：,2019/5/25,70,例3-20如图所示，试用辅助平面法求一般倾斜直线DE与一般倾斜平面ABC的交点，并判定其投影的可见性。,一般位置直线与一般位置平面相交,换面法：,例3-19,辅助平面法：,例3-20,例3-19如图所示，试求一般倾斜直线DE与一般倾斜平面ABC 的交点K，并判定其投影的可见性。,2019/5/25,71,一般位置平面和一般位置平面相交,方法一：,方法二：,例 3-23,补充例,2019/5/25,72,例3-23,如图a所示，试求ABC与DEF的交线，并判断其各部分的可见性。,用辅助平面求线面交点作两平面交线，有：,2019/5/25,73,求相交两平面的共有点，除利用直线与平面的交点外，还可利用三面共点的原理来作出属于两平面的共有点。,2019/5/25,74,同坡屋面,2019/5/25,75,例3-24,设已知同坡屋顶四周屋檐的水平投影，及屋面的水平倾角，试作出该屋顶的两面投影。,2019/5/25,76,直线的投影,2019/5/25,77,直线上点的投影,点在直线上，点的投影在直线同名投影上（从属性）；且点分线段的比例，投影后不变（定比性）。,2019/5/25,78,投影面平行线,定义：,与一个投影面平行而与另两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。,分类：,水平线 正平线 侧平线,2019/5/25,79,投影面垂直线,定义：,与一个投影面垂直的直线，称为投影面垂直线。,分类：,正垂线 铅垂线 侧垂线,2019/5/25,80, 根据求点的新投影的方法作出a1和b1；, a1b1即为AB在V1面上的新投影，a1b1反映实长，即a1b1AB。,将一般倾斜直线变换为新投影面 的平行线, 在适当位置作O1X1ab；,步骤：,2019/5/25,81,将一般倾斜直线变换为新投影面 的垂直线,步骤：,（1）作O1X1ab，则在V1和H投影面体系中AB为V1面的平行线； （2）作 O2X2a1b1，则在V1和H2投影面体系中AB为H2面的垂直线，新投影a2b2积聚为一点，如图所示：,将投影面平行线变换为新投影面的垂直线,2019/5/25,82,例题3-3,求点M到一般倾斜直线AB的距离，如图a所示：,2019/5/25,83,非迹线表示法,不在同一条直线上三点确定一个平面(A、B、C),直线和直线外一点确定一个平面（AB、C）,相交两直线(AB 、BC),平行两直线（AB /CD）,任意平面图形、三角形、圆、平行四边形等。,2019/5/25,84,迹线表示法,不平行于投影面的平面与投影面的交线称为迹线。,P交V,PV 正面迹线,P交H,P交W,PH 水平迹线,PW 侧面迹线,PX叫集合点（迹线共点 ）。,2019/5/25,85,2. ab=AB；,3. ab与OX轴的夹角，反映该直线对V面的倾角；ab与OYH 轴的夹角，反映该直线对W面的倾角r。,水平线,水平线：,平行于H面但倾斜于V、W面的直线。,投影特性：,1. ab/OX, a”b”/OYw；,2019/5/25,86,3. ab与OX轴的夹角，反映直线对H面的倾角a；ab与OZ轴的夹角，反映该直线对W面的倾角r。,2. ab=AB；,正平线,正平线：,平行于V面但倾斜于H、W面的直线。,投影特性：,1. ab/OX,a”b”/OZ ；,2019/5/25,87,2 . a”b”=AB；,3 . A”b”与OYw轴的夹角，反映该直线对H面的倾角a；a”b”与OZ轴的夹角，反映该直线对V面的倾角B。,侧平线,侧平线：,平行于W面但倾斜于H、W面的直线。,投影特性：,1 . ab/OYH， ab/OZ；,2019/5/25,88,2. 水平投影及侧面投影分别垂直于相应的投影轴，即：ab OX，a”b” OZ；,3. 水平投影及侧面投影均反映线段实长，即ab=AB，a”b”=AB。,正垂线,正垂线：,垂直