2019届高考数学复习导数及其应用考点规范练15导数与函数的单调性极值最值文新人教A版.docx

考点规范练15导数与函数的单调性、极值、最值基础巩固1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)2.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n=()A.0B.2C.-4D.-23.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f(x),满足f(x)2ex的解集为()A.(-,0)B.(-,2)C.(0,+)D.(2,+)4.(2017浙江,7)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()5.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在区间t,t+1上不单调,则t的取值范围是.6.若函数g(x)=ln x+ax2+bx,且g(x)的图象在点(1,g(1)处的切线与x轴平行.(1)确定a与b的关系;(2)若a0,试讨论函数g(x)的单调性.7.已知函数f(x)=(a0)的导函数y=f(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间-5,+)内的最大值.8.(2017安徽马鞍山一模)已知函数f(x)=xex-a(aR).(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)的单调性.9.设函数f(x)=(aR).(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若f(x)在区间3,+)内为减函数,求a的取值范围.能力提升10.已知函数y=f(x)对任意的x满足f(x)cos x+f(x)sin x0(其中f(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()A.fB.2fD.f(0)11.设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是.12.(2017福建福州一模)已知函数f(x)=aln x+x2-ax(aR).(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;(2)求g(x)=f(x)-2x在区间1,e上的最小值h(a).13.已知函数f(x)=x3-ax-b,xR,其中a,bR.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1x0,求证:x1+2x0=0;(3)设a0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间-1,1上的最大值不小于.高考预测14.已知函数f(x)=aln x-ax-3(aR).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45,对于任意的t1,2,函数g(x)=x3+x2在区间(t,3)内总不是单调函数,求m的取值范围.答案：1.D解析:函数f(x)=(x-3)ex的导数为f(x)=(x-3)ex=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f(x)0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f(x)=(x-2)ex0,解得x2.2.B解析:因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,所以m,n为f(x)=3x2-6x+1=0的两根.由根与系数的关系可知m+n=-=2.3.C解析:设g(x)=,则g(x)=.f(x)0,即函数g(x)在定义域内单调递增.f(0)=2,g(0)=f(0)=2,不等式f(x)2ex等价于g(x)g(0).函数g(x)在定义域内单调递增.x0,不等式的解集为(0,+),故选C.4.D解析:设导函数y=f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x10x2x3.所以在区间(-,x1)和(x2,x3)内,f(x)0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.5.(0,1)(2,3)解析:由题意知f(x)=-x+4-=-.由f(x)=0得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间t,t+1上就不单调,由t1t+1或t3t+1,得0t1或2t0解得0x1,由g(x)1,即函数g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减.当a0时,令g(x)=0,得x=1或x=,若,则由g(x)0解得x1或0x,由g(x)0解得x1,即0a0解得x或0x1,由g(x)0解得1x,即函数g(x)在(0,1),内单调递增,在内单调递减;若=1,即a=,则在(0,+)上恒有g(x)0,即函数g(x)在(0,+)内单调递增.综上可得:当a=0时,函数g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减;当0a时,函数g(x)在内单调递增,在内单调递减,在(1,+)内单调递增.7.解:(1)因为f(x)=,所以f(x)=,设g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c.因为a0,所以由题意知:当-3x0,即f(x)0;当x0时,g(x)0,即f(x)5=f(0),所以函数f(x)在区间-5,+)内的最大值是5e5.8.解:(1)当a=1时,f(x)=xex-,f(x)=ex+xex-(x+1)=(x+1)(ex-1),令f(x)=0,得x=-1或x=0.x(-,-1)-1(-1,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=;当x=0时,f(x)有极小值f(0)=0.(2)f(x)=ex+xex-a(x+1)=(x+1)(ex-a),当a0时,ex-a0,由f(x)0得x-1,即在区间(-1,+)内,函数f(x)单调递增;由f(x)0得x0时,令f(x)=0,得x=-1或x=ln a.当ln a=-1,即a=e-1时,无论x-1或x0,又f(-1)=0,即在R上,f(x)0,从而函数f(x)在R上单调递增.当ln a-1,即0a0x-1或xln a时,函数f(x)单调递增;由f(x)=(x+1)(ex-a)0ln ax-1,即ae-1时,由f(x)=(x+1)(ex-a)0xln a或x-1时,函数f(x)单调递增;由f(x)=(x+1)(ex-a)0-1xln a时,函数f(x)单调递减.9.解:(1)对f(x)求导得f(x)=.因为f(x)在x=0处取得极值,所以f(0)=0,即a=0.当a=0时,f(x)=,f(x)=,故f(1)=,f(1)=,从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-(x-1),化简得3x-ey=0.(2)由(1)知f(x)=.令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0解得x1=,x2=.当xx1时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数;当x1x0,即f(x)0,故f(x)为增函数;当xx2时,g(x)0,即f(x)0,g(x)0,即函数g(x)在内单调递增.gg,即.0时,令F(x)=,则F(x)=0时,F(x)=为减函数.f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.在区间(0,1)内,F(x)0;在(1,+)内,F(x)0,即当0x0;当x1时,f(x)0;当x(-1,0)时,f(x)0的解集为(-,-1)(0,1).12.解:(1)f(x)=+2x-a(x0).x=3是函数f(x)的一个极值点,f(3)=+6-a=0,解得a=9,f(x)=,当0x3时,f(x)0;当x3时,f(x)0,f(x)的单调递增区间为,(3,+);f(x)的单调递减区间为.(2)g(x)=aln x+x2-ax-2x,x1,e,g(x)=.当1,即a2时,g(x)在区间1,e上递增,g(x)min=g(1)=-a-1;当1e,即2a0时,令f(x)=0,解得x=,或x=-.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)证明:因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a0,且x00.由题意,得f(x0)=3-a=0,即,进而f(x0)=-ax0-b=-x0-b.又f(-2x0)=-8+2ax0-b=-x0+2ax0-b=-x0-b=f(x0),且-2x0x0,由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1x0,因此x1=-2x0.所以x1+2x0=0.(3)证明:设g(x)在区间-1,1上的最大值为M,maxx,y表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:当a3时,-11,由(1)知,f(x)在区间-1,1上单调递减,所以f(x)在区间-1,1上的取值范围为f(1),f(-1),因此M=max|f(1)|,|f(-1)|=max|1-a-b|,|-1+a-b|=max|a-1+b|,|a-1-b|=所以M=a-1+|b|2.当a3时,-1-1,由(1)和(2)知f(-1)f=f,f(1)f=f,所以f(x)在区间-1,1上的取值范围为,因此M=max=max=max=+|b|.当0a时,-1-1,由(1)和(2)知f(-1)f=f,所以f(x)在区间-1,1上的取值范围为f(-1),f(1),因此M=max|f(-1)|,|f(1)|=max|-1+a-b|,|1-a-b|=max|1-a+b|,|1-a-b|=1-a+|b|.综上所述,当a0时,g(x)在区间-1,1上的最大值不小于.14.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=.当a0时,f(x)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+);当a0时,f(x)的递增区间为(1,+),递减区间为(0,1);当a=0时,f(x)不是单调函数.(2)由(