2019版高考数学复习平面解析几何第5讲椭圆学案.docx

第5讲椭圆板块一知识梳理自主学习必备知识考点1椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ab0)上任意一点P(x，y)，则当x0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当xa时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a2b2c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.(4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为.(5)椭圆离心率e.考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(5)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()答案(1)(2)(3)(4)(5)22017浙江高考椭圆1的离心率是()A. B. C. D.答案B解析椭圆方程为1，a3，c.e.故选B.32018广东模拟已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2 B3 C4 D9答案B解析由4(m0)m3，故选B.4课本改编已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析依题意，设椭圆方程为1(ab0)，所以解得a29，b28.故椭圆C的方程为1.5椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m_.答案解析椭圆x2my21可化为x21，因为其焦点在y轴上，所以a2，b21，依题意知 2，解得m.62018上海联考若椭圆的方程为1，且此椭圆的焦距为4，则实数a_.答案4或8解析当焦点在x轴上时，10a(a2)22，解得a4；当焦点在y轴上时，a2(10a)22，解得a8.板块二典例探究考向突破考向椭圆的定义及标准方程 例1(1)2018杭州模拟已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1答案A解析由题意及椭圆的定义知4a4，则a，又，c1，b22，C的方程为1，选A.(2)设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为_答案4解析连接PF2，则OM为PF1F2的中位线，|OM|3，|PF2|6.|PF1|2a|PF2|1064.触类旁通(1)在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注意到常数2a|F1F2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系(2)待定系数法求椭圆方程，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)【变式训练1】(1)2018厦门模拟已知椭圆y21，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点则|PF1|PF2|的最大值为()A6 B4 C2 D8答案B解析设|PF1|m，|PF2|n，则mn2a4，|PF1|PF2|mn24(当且仅当mn2时，等号成立)故选B.(2)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是2，则椭圆C的方程是_答案1解析设椭圆C的方程为1(ab0)由题意知解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.(3)2017豫北六校联考设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|，且|AB|4，ABF2的周长为16.则|AF2|_.答案5解析由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3.ABF2的周长为16，4a16，a4.则|AF1|AF2|2a8，|AF2|8|AF1|835.考向椭圆的几何性质 例2(1)2017全国卷已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B. C. D.答案A解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e .故选A.(2)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_答案解析由题意知，2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b，整理得5c23a22ac，即5e22e30，解得e或e1(舍去)触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率【变式训练2】(1)2016全国卷直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(c，0)，b0，c0，则直线l的方程为bxcybc0，由已知得2b，解得b23c2，又b2a2c2，所以，即e2，所以e(e舍去)，故选B.(2)2018锦州模拟设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为_答案解析在RtPF2F1中，令|PF2|1，因为PF1F230，所以|PF1|2，|F1F2|.所以e.考向椭圆中的焦点三角形例32018漳浦县校级月考椭圆y21上的一点P与两焦点F1，F2所构成的三角形称为焦点三角形(1)求的最大值与最小值；(2)设F1PF2，求证：SF1PF2tan.解(1)设P(x，y)，F1(，0)，F2(，0)，则(x，y)(x，y)x2y23x22.x20,4，x222,1的最大值为1，最小值为2.(2)证明：由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，在F1PF2中，由余弦定理可得：|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|(1cos)，可得4c24a22|PF1|PF2|(1cos)|PF1|PF2|，即有F1PF2的面积S|PF1|PF2|sinF1PF2b2b2tantan.触类旁通椭圆的焦点三角形：椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理以椭圆1(ab0)上一点P(x0，y0)(y00)和焦点F1(c,0)，F2(c,0)为顶点的PF1F2中，若F1PF2，则(1)|PF1|PF2|2a；(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos；(3)SPF1F2|PF1|PF2|sin，当|y0|b，即P为短轴端点时，SPF1F2取最大值，为bc；(4)焦点三角形的周长为2(ac)；(5)当P为短轴端点时，最大；(6)若焦点三角形的内切圆圆心为I，延长PI交F1F2于点Q，则，所以(e为离心率)【变式训练3】(1)如图所示椭圆中，P为椭圆上一点，F为其一个焦点，PF为直径的圆与长轴为直径的圆的关系为_答案内切解析设椭圆的方程为1(ab0)，F、F分别是椭圆的左、右焦点，作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2y2a2，如图所示设PF中点为M，连接PF，OM是PFF的中位线，可得|OM|PF|，即两圆的圆心距为|PF|根据椭圆定义，可得|PF|PF|2a，圆心距|OM|PF|(2a|PF|)a|PF|，即两圆的圆心距等于它们的半径之差，因此，以PF为直径的圆与以长轴为直径的圆x2y2a2相内切(2)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.答案3解析由题意知|PF1|PF2|2a，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，所以2|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|2b2，所以SPF1F2|PF1|PF2|2b2b29.所以b3.考向直线与椭圆的综合问题命题角度1弦的中点问题 例42018南昌模拟已知椭圆：x21，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A9xy40 B9xy50C2xy20 Dxy50答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆x21上，所以两式相减得xx0，得(x1x2)(x1x2)0，又弦AB被点P平分，所以x1x21，y1y21，将其代入上式得x1x20，得9，即直线AB的斜率为9，所以直线AB的方程为y9，即9xy50.命题角度2弦长问题 例52018陕西咸阳模拟在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)过点P(2,1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点求PAB面积的最大值解(1)e2，a24b2.又椭圆C：1(ab0)过点P(2,1)，1，a28，b22.故所求椭圆方程为1.(2)设l的方程为yxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理，得x22mx2m240.4m28m2160，解得|m|2.x1x22m，x1x22m24.则|AB| .点P到直线l的距离d.SPABd|AB|2.当且仅当m22，即m时取得最大值触类旁通直线与椭圆综合问题的处理方法解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单核心规律1.椭圆中的参数a，b，c三者的关系为a2b2c2，这是椭圆中参数关系的核心2.求离心率常用两种方法：(1)求得a，c的值，代入公式e即可；(2)列出a，b，c的方程或不等式，根据b2a2c2将b消掉，转化为含有a和c的关系，最后转化为关于e的方程或不等式满分策略1.判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x2和y2的分母大小2.关于离心率的范围问题，一定不要忘记椭圆离心率的固有范围0eb0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.板块三启智培优破译高考题型技法系列 14椭圆离心率范围的求解技巧2018衡中模拟F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF290，则椭圆的离心率的取值范围是_解题视点将垂直问题转化为向量的数量积，再借助于椭圆本身的属性|x|a破解解析解法一：设P(x0，y0)为椭圆上一点，则1.(cx0，y0)，(cx0，y0)，若F1PF290，则xyc20.xb2c2，x.0xa2，01.b2c2，a22c2，e1.解法二：如图，由题意，F1PF290，OPF245，sinOPF2，e1.答案eb0)的焦点F1，F2的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部(不包括边界)，则此椭圆离心率的取值范围是()A(0,1) B.C. D.答案B解析设椭圆1的短轴的一个端点为B，中心为O，椭圆上任意一点为M，过焦点F1，F2的两条互相垂直的直线的交点为P，则点P在以O为圆心，|F1F2|为直径的圆上，且该圆的半径r|OP|F1F2|c(其中c)，则由椭圆的性质及题意可得rb，即cb，所以c2b2a2c2，所以2c2a2，得ca，所以e，故所求椭圆的离心率的取值范围是.板块四模拟演练提能增分A级基础达标12016湖北八校联考设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A. B. C. D.答案B解析由题意知a3，b，c2.设线段PF1的中点为M，则有OMPF2，OMF1F2，PF2F1F2，|PF2|.又|PF1|PF2|2a6，|PF1|2a|PF2|，.故选B.2已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c1，ea2，b2a2c23，因此椭圆C的方程是1.3“3m5”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案B解析要使方程1表示椭圆，只须满足解得3m5且m1，因此，“3mb0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A(3,0) B(4,0)C(10,0) D(5,0)答案D解析圆的标准方程为(x3)2y21，圆心坐标是(3,0)，c3.又b4，a5.椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(5,0)故选D.52018黑龙江双鸭山模拟过椭圆1(ab0)的两个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析过椭圆的两个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，c，即aca2c2，e2e10，0e2，解得0kb0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)分别代入椭圆方程相减得0，根据题意有x1x2212，y1y2212，且，所以0，得a22b2，所以a22(a2c2)，整理得a22c2，得，所以e.9已知椭圆C：1(ab0)的离心率为e，其左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|2，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：xx为定值，并求该定值解(1)c，e，a2，b2a2c21，则椭圆C的方程为y21.(2)证明：由于，则x1x24y1y2，xx16yy.而y1，y1，则1y，1y，yy，则(4x)(4x)16yy，(4x)(4x)xx，展开得xx4为一定值102018山东模拟已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2y21上(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k的直线过点M(2,0)，且与椭圆C相交于A，B两点，试探讨k为何值时，OAOB.解(1)依题意b1，c1，所以a22.所以椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yk(x2)由消去y得(12k2)x28k2x8k220.所以x1x2，x1x2.因为OAOB，所以x1x2y1y20.而y1y2k2(x12)(x22)，所以x1x2k2(x12)(x22)0，即(1k2)x1x22k2(x1x2)4k20，所以4k20，解得k2，此时0，所以k.B级知能提升12018湖南郴州设e是椭圆1的离心率，且e，则实数k的取值范围是()A(0,3) B.C(0,3) D(0,2)答案C解析当k4时，c，由条件知；当0k4时，c，由条件知1，解得0kbc0.由右椭圆1(x0)的焦点F0和左椭圆1(x0)的焦点F1，F2确定的F0F1F2叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆1(x0)的离心率的取值范围为()A. B.C. D.答案C解析连接F0F1、F0F2，根据“