2019版高考数学复习三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理学案.docx

第6讲正弦定理和余弦定理板块一知识梳理自主学习必备知识考点1正弦定理2R，其中2R为ABC外接圆的直径变式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.abcsinAsinBsinC.考点2余弦定理a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC.变式：cosA；cosB；cosC.sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA.考点3在ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAabab解的个数一解两解一解一解无解考点4三角形中常用的面积公式1Sah(h表示边a上的高)2SbcsinAacsinBabsinC.3Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)必会结论在ABC中，常有以下结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；tan(AB)tanC；sincos；cossin.(5)tanAtanBtanCtanAtanBtanC.(6)ABabsinAsinBcosAcosB.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，AB必有sinAsinB.()(2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，.()(4)在ABC中，若acosBbcosA，则ABC是等腰三角形()答案(1)(2)(3)(4)2课本改编在ABC中，若，则B的值为()A30 B45 C60 D90答案B解析由正弦定理知：，sinBcosB，B45.32018长春质检已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，bc4，则ABC的面积为()A. B1 C. D2答案C解析a2b2c2bc，cosA，A，又bc4，ABC的面积为bcsinA.4课本改编已知在ABC中，sinAsinBsinC357，那么这个三角形的最大内角的大小为_答案120解析由sinAsinBsinC357知，三角形的三边之比abc357，最大的角为C.由余弦定理得cosC，C120.52017全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A_.答案75解析如图，由正弦定理，得，sinB.又cb，B45，A180604575.62015重庆高考设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cosC，3sinA2sinB，则c_.答案4解析由3sinA2sinB及正弦定理，得3a2b，所以ba3.由余弦定理的推论得cosC，得，解得c4.板块二典例探究考向突破考向利用正、余弦定理解三角形例1(1)2018浙江模拟设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sinA5sinB，则角C_.答案解析由3sinA5sinB，得3a5b，ab，又bc2a，所以cb.根据余弦定理的推论cosC，把ab，cb代入，化简得cosC，所以C.(2)2017全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosBacosCccosA，则B_.答案解析由2bcosBacosCccosA及正弦定理，得2sinBcosBsinAcosCsinCcosA.2sinBcosBsin(AC)又ABC，ACB.2sinBcosBsin(B)sinB.又sinB0，cosB.B.在ABC中，acosCccosAb，条件等式变为2bcosBb，cosB.又0B0，sinA1，A，故ABC为直角三角形本例条件变为若，判断ABC的形状解由，得，sinAcosAcosBsinB，sin2Asin2B.A、B为ABC的内角，2A2B或2A2B，AB或AB，ABC为等腰三角形或直角三角形本例条件变为若a2bcosC，判断ABC的形状解解法一：因为a2bcosC，所以由余弦定理得，a2b，整理得b2c2，则此三角形一定是等腰三角形解法二：sinA2sinBcosC，sin(BC)2sinBcosC，sin(BC)0，BC，BC0，BC，则此三角形定是等腰三角形本例条件变为若cosA，判断ABC的形状解依题意得cosA，sinCsinBcosA，所以sin(AB)sinBcosA.即sinBcosAcosBsinAsinBcosA0.所以cosBsinA0，于是有cosB0，B为钝角，所以ABC是钝角三角形触类旁通判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断提醒在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响【变式训练2】在ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinAbsinBcsinC，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案C解析根据正弦定理可得a2b2c2.由余弦定理的推论得cosC0，故C是钝角考向与三角形面积有关的问题例32017全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长解(1)由题设得acsinB，即csinB.由正弦定理得sinCsinB .故sinBsinC.(2)由题设及(1)得cosBcosCsinBsinC，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsinA，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.触类旁通三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化【变式训练3】2017全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinAcosA0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解(1)由已知可得tanA，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240，解得c6(舍去)或c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面积与ACD面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.核心规律1.在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解2.在ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理时，会出现解的不确定性，一般可根据“大边对大角”来取舍满分策略1.在解三角形中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.板块三启智培优破译高考题型技法系列6利用均值不等式破解三角函数最值问题2016山东高考在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanAtanB).(1)证明：ab2c；(2)求cosC的最小值解题视点(1)首先把切函数转化为弦函数，将分式化为整式，然后根据和角公式及三角形内角和定理化简，最后根据正弦定理即可证明；(2)首先根据(1)中的结论和余弦定理表示出cosC，然后利用基本不等式求解最值解(1)证明：由题意知2，化简得2(sinAcosBsinBcosA)sinAsinB，即2sin(AB)sinAsinB.因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sinC，从而sinAsinB2sinC.由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c，所以cosC，当且仅当ab时，等号成立故cosC的最小值为.答题启示对于含有ab，ab及a2b2的等式，求其中一个的范围时，可利用基本不等式转化为以该量为变量的不等式求解. 跟踪训练已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC(acosBbcosA)(1)求角C；(2)若c2，求ABC面积的最大值解(1)ctanC(acosBbcosA)，sinCtanC(sinAcosBsinBcosA)，sinCtanCsin(AB)sinC，0C，sinC0，tanC，C.(2)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcosC，得12a2b2ab2abab，ab12，SABCabsinC3，当且仅当ab2时，ABC的面积取得最大值3.板块四模拟演练提能增分A级基础达标12018北京西城期末已知ABC中，a1，b，B45，则A等于()A150 B90 C60 D30答案D解析由正弦定理，得，得sinA.又ab，AB45.A30.故选D.2在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边若bsinA3csinB，a3，cosB，则b()A14 B6 C. D.答案D解析bsinA3csinBab3bca3cc1，b2a2c22accosB912316，b.故选D.32018甘肃张掖月考在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2a，bsinBasinAasinC，则sinB为()A. B. C. D.答案A解析由bsinBasinAasinC，且c2a，得ba，cosB，sinB.4设A是ABC的一个内角，且sinAcosA，则这个三角形是()A锐角三角形 B钝角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案B解析将sinAcosA两边平方得sin2A2sinAcosAcos2A，又sin2Acos2A1，故sinAcosA.因为0A0，则cosA0，即A是钝角5在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且cos2B3cos(AC)20，b，则csinC等于()A31 B.1 C.1 D21答案D解析由cos2B3cos(AC)20，得2cos2B3cosB10，解得cosB1(舍去)或cosB，所以sinB，所以csinCbsinB21.62017浙江高考我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6_.答案解析作出单位圆的内接正六边形，如图，则OAOBAB1.S66SOAB61.7在ABC中，已知AB3，A120，且ABC的面积为，则BC_.答案7解析由SABC得3ACsin120，所以AC5，因此BC2AB2AC22ABACcos12092523549，解得BC7.82018渭南模拟在ABC中，若a2b2bc且2，则A_.答案解析因为2，故2，即c2b，则cosA，所以A.9在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanAtanC(tanAtanC1)(1)求角B；(2)如果b2，求ABC面积的最大值解(1)tanAtanC(tanAtanC1)，即，即tan(AC).又ABC，tanBtan(AC)，B.(2)由余弦定理的推论得cosB，即4a2c2ac2acac，ac4，当且仅当ac2时，等号成立SABCacsinB4.故ABC的面积的最大值为.102018长沙模拟已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a1,2cosCc2b.(1)求A；(2)若b，求sinC.解(1)因为a1,2cosCc2b，由余弦定理得2c2b，即b2c21bc.所以cosA.因为0A180，所以A60.(2)解法一：由b及b2c21bc，得2c21c，即4c22c30，解得c或c(舍去)由正弦定理得，得sinCsin60.解法二：由a1，b及正弦定理，得sinBsin60.由于ba，则0B0，b5.22017全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinBsinA(sinCcosC)0，a2，c，则C()A. B. C. D.答案B解析因为a2，c，所以由正弦定理可知，故sinAsinC.又B(AC)，故sinBsinA(sinCcosC)sin(AC)sinAsinCsinAcosCsinAcosCcosAsinCsinAsinCsinAcosC(sinAcosA)sinC0.又C为ABC的内角，故sinC0，则sinAcosA0，即tanA1.又A(0，)，所以A.从而sinCsinA.由A知C为锐角，故C.故选B.32017浙江高考已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_.答案解析依题意作出图形，如图所示，则sinDBCsinABC.由题意知ABAC4，BCBD2，则sinABC，cosABC.所以SBDCBCBDsinDBC22.因为cosDBCcosABC，所以CD.由余弦定理，得cosBDC.4ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosBbcosA)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，2cosCsin(AB)sinC.故2sinCcosCsinC.可得cosC，所以C.(2)由已知，得absinC.又C，所以ab6.由